Tπm(3)打在QC间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以tm＝＝。
2Bq12. 如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m、电量为＋q的粒子由小孔下方处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧
2靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。
d
(1)求极板间电场强度的大小；
(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；
2mv4mv(3)若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过HqDqD点，求这段时间粒子运动的路程。
mv24mv4mv答案 (1) (2)或 (3)5.5πD
qdqD3qD解析 (1)设极板间电场强度的大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得
d1
qE＝mv2①
22由①式得
mv2
E＝②
qd (2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得
v2
qvB＝m③
R25 / 27
如图甲所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况。若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得R＝④
4
联立③④式得 4mv⑤
DB＝qD3D若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得R＝⑥
4联立③⑥式得 4mv⑦ 3qD2
2
B＝(3)设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区磁2mv4mvvv感应强度的大小分别为B1＝、B2＝，由牛顿第二定律得qvB1＝m，qvB2＝m⑧
qDqDR1R2
代入数据得
DDR1＝，R2＝⑨
2
4
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动学公式得T1＝2πR2＝⑩
2πR1
v，T2
v据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α，由几何关系得
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θ1＝120°? θ2＝180°? α＝60°?
粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1，t2，可得
t1＝
360°θ1×2360°θ2
×T1，t2＝×T2? α360°α360°
设粒子运动的路程为s，由运动学公式得
s＝v(t1＋t2)?
联立⑨⑩?????式得
s＝5.5πD?
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