∴△ABC为等边三角形． 二、填空题
7．等边三角形ABC与正方形ABDE有一个公共边AB，二面角CABD的余弦值为
3
，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN3
1所成角的余弦值等于．
6解析：分别取AB、ED的中点F、G，连结FC、FG、CG.由题意知FC⊥AB，FG⊥AB，即∠C FG为二面角CABD的平面角，
3
设AB＝1，则FC＝，
2在△CFG中， CG＝
33
FC2＋FG2－2FC·FG·＝.
32
∴CG＝CF，取FG中点O，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
??11??11?2?
E?2，2，0?，A?2，－2，0?，C?0，0，?， ????2??
?1?1?11?12?12?
?????－，－，0则M，－，，B＝2，N－，－，?， 2??44?44??4?4
9
?132?→∴EM＝?－，－，?，
44??4?312?→?AN＝－，，?， 4??44
→·AN→EM118
∴cosEM→，AN→＝|EM→＝＝|·|AN→|336.
2·2
8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°； ④AB与CD所成的角为60°. 其中正确的序号是①②④．
解析：取BD中点为O，连接AO，CO，则AO⊥BD， CO⊥BD.
∴BD⊥平面AOC， ∴AC⊥BD.
又AC＝2AO＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形．
10
而∠ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45°. →＝AB→＋BD→＋DC→(设AB＝a)， 又AC
??2?2?则a＝a＋2a＋a＋2·a·2a·?－?＋2a·2a·?－?＋2a2cos
2?2???
2
2
2
2
→，DC→〉〈AB，
→，DC→〉＝1， ∴cos〈AB
2∴AB与CD所成的角为60°. 三、解答题
9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1
上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1EDF的正弦值．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
11
点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得D(0，2，0)，
?3??F(1，2，1)，A1(0，0，4), E1，2，0?. ???1?→→?0，，1?，A1D＝(0，2，－4) (1)易得EF＝2
?
?
→·A→EF31D→，A→于是cosEFD＝＝－. 1
5→||A→|EFD|
1
3
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
5
?3?→?1?→→???(2)已知AF＝(1，2，1)，EA1＝－1，－2，4， ED＝－1，2，0?，
?
?
?
?
→·EA→＝0，AF→·ED→＝0.因此，AF⊥EA，AF⊥ED，又于是AF11
EA1∩ED＝E，
所以AF⊥平面 A1ED. (3)设平面EFD的法向量
→＝0，?u·EFu＝(x，y，z)，则?即
→＝0，?u·ED
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