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用换元法解一元多次方程的探索

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用换元法解一元多次方程的探索

作者:袁万萍

来源:《广西教育·B版》2014年第06期

【摘要】在用换元法解一元二次方程的基础上,进一步讲解用换元法解一元三次方程和一元四次方程的通用公式,拓宽学生的知识面,培养学生学习和研究数学的兴趣。 【关键词】一元二次方程一元高次方程配方法换元法 【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889(2014)06B-0072-02

一元二次方程是中学数学教材中十分重要的一个章节,这个章节属于数与代数领域的知识。在此之前,学生已学习了一元一次方程及整式的平方、开方、因式分解等,已经具有了比较好的学习基础。本节内容是学生学过的一元一次方程的延续和拓展,又是后续研究高次方程的基础,也是为以后学习一元二次函数和一元二次不等式做准备,起着承上启下的作用。因此,在方程研究中,占据重要的不可替代的地位。

配方法是数学解题中的一种非常重要的方法。用此方法解一元二次方程简单、有效,而且学生也容易掌握,但是这种方法对于一元三次方程或更高次方程来说不适用,因此学生也就丧失了进一步探索的兴趣。因此,在中学的一元二次方程的教学中,很有必要引入一种新的方法来弥补这一缺点,这也就是这篇论文的目的。

本文所讲的换元法不仅仅可以求解一元二次方程,而且对三次、四次方程也适用,使三次、四次方程的求解有一种固定的模式。这对于学有余力的同学来说,发展他们进一步探索数学的能力是有帮助的。我们注意到一般的五次或者高于五次的方程,没有公式可以求解。因此,本文也只适用于三次、四次方程,但是可以简化一般的高次方程(包括五次及其以上的方程),只是得不到公式解而已。 一、换元法求解一元二次方程

对于一般的一元二次方程,为了简化计算,我们假定其系数为二项式系数 (1)

如果方程的一次项系数变为0,那么直接开平方即可。因此,我们的目标是使用线性变换让其一次项系数变为0。作如下的线性变换: (2)

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