第28讲 图形的相似与位似
1．比例线段
ac
(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若＝或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d
bdab
叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有＝，则b叫做a，c的比例中项．
bc(2)比例的基本性质及定理 ac
①＝?ad＝bc； bdaca±bc±d②＝?＝； bdbd
acma＋c＋…＋ma③＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)?＝. bdnb＋d＋…＋nb4．相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (2)相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； ②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 5．射影定理
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．
(1)AC＝AD·AB； (2)BC＝BD·AB； (3)CD＝AD·BD； (4)AC∶BC＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
2
2
2
2
2
1
6．相似三角形的实际应用
(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似；
④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．
(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．
如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即＝
建筑物的高度
.
建筑物的影长
身高影长
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k.
(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形
2
考点1： 相似三角形的性质
【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．20 【答案】D
利用△AFH∽△ADE得到
，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，
B．22
C．24
D．26
从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积． 【解答】解：如图， 根据题意得△AFH∽△ADE，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x， ∴16x﹣9x＝7，解得x＝1， ∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26． 故选：D．
归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2．判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；
(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例． 考点2： 相似三角形的判定
【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且
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保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长． 解：分三种情况：设BP＝x.
①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∴∠BAP＋∠APB＝90°.
∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°. ∴∠BAP＝∠CPQ， ∴△ABP∽△PCQ. ∴
ABBP＝PCCQ，∴4x＝4－x1
， ∴x1＝x2＝2. ∴BP＝2；
②当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP＝22－2； ③当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP＝2＋22. 归纳：基本图形
(1)斜边高图形 有以下基本结论：
①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC； ②△ADB∽△CDA∽△CAB. (2)一线三等角
有以下基本结论：
①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC； ②△BDE∽△CFD.
特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.
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