32，
，
，
∴，即：
∴
∴OE＝
，13
答：楼的高度OE为32米．
12. (2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D. (1)求∠BDF的大小； (2)求CG的长．
【解析】：(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10. ∴∠ABD＝45°.
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF.
∴∠BDF＝∠ABD＝45°.
(2)由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF， ∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°. ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADE＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ACB. ∴△ADE∽△ACB. ∴ADAE＝. ACAB
∵AC＝8，AB＝AD＝10，
∴AE＝12.5，由平移的性质，得CG＝AE＝12.5.
14
13.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.
(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；
(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；
1
(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝S△ABC时，求线段EF的长．
4
【点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似BDDFCDDF
三角形的性质得＝，进而有＝，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积
CEEDCEED1
的，求出点D到AB的距离，进而利用S△DEF的值求出EF即可． 4【解答】解：(1)图1中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE. (2)△BDF∽△CED∽△DEF.
证明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180°，∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°， 又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE.
BDDF
由AB＝AC，得∠B＝∠C，∴△BDF∽△CED.∴＝.
CEEDCDDF
∵BD＝CD，∴＝. CEED
又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF.
(3)连接AD，过点D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H. 1
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6.
2在Rt△ABD中，AD＝AB－BD，∴AD＝8. 11
∴S△ABC＝BC·AD＝48.S△DEF＝S△ABC＝12.
2411
又∵AD·BD＝AB·DH，∴DH＝4.8.
22∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD. ∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝4.8.
15
2
2
2
1
∵S△DEF＝EF·DG＝12，∴EF＝5.
2
14. (2019?湖南常德?10分)在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N． (1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；
(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM?PF+OM?BN＝AM?PE．
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；
(2)根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；
(3)根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到【解答】证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， 在△BMC和△CNB中，
＝
，根据比例的性质证明即可．
，
∴△BMC≌△CNB(AAS)； (2)∵△BMC≌△CNB， ∴BM＝NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB，
16
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