人教A版高中数学必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和习题(2)

7.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N,Sn是和an的等差中项. *

(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;

(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大值,并求出取最大值时n的值. (1)证明由已知,得2Sn=+an,且an>0. 当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1. 当n≥2时,2Sn-1=+an-1.

所以2Sn-2Sn-1=+an-an-1,即2an=+an-an-1,

即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.

因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).

故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n. (2)解由(1)可知an=n.设cn=an·bn,

则cn=n(-n+5)=-n2

+5n=-.

∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6. 故{an·bn}的最大值为6,此时n=2或n=3. 8.导学号04994038在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22. (1)数列{an}的前多少项和最大? (2)求数列{|an|}的前n项和Sn.

解(1)设{an}的公差为d,由a10=23,a25=-22,得解得

所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.令an>0,得n<, 所以当n≤17,n∈N*

时,a*

n>0;当n≥18,n∈N时,an<0, 故数列{an}的前17项和最大.

(2)当n≤17,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a2

n=-n+n;

当n≥18,n∈N*

时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an

=2(a1+a2+…+a17)-(a2+a2+…故n+884.

S+an)= n2-n= 5

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