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浙江省2002年7月高等教育自学考试
常微分方程试题
课程代码：10002
一、填空题(每小题3分，共36分)
dnydy1.n阶微分方程F(x,y,…, )=0的含有n个独立的任意常数c1,c2,…,cn的解，
dxdxny=?(x,c1,c2,…cn)称为n阶微分方程的______.个人收集整理 勿做商业用途 dy=P(x)y+Q(x)的通解为_____. dx3.一阶微分方程M(x、y)dx+N(x、y)dy=0，这里M(x、y)，N(x、y)在某矩形域内是(x、y)的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，方程为恰当方程的充要条件是______.个人收集整理 勿做商2.一阶线性微分方程
业用途 4.如果函数f(x、y)在R:｜x-x0｜≤a，｜y-y0｜≤b上连续，且______.则方程
dy=f(x、y)存在dx唯一的解y=?(x)定义于｜x-x0｜≤h上，连续且满足初始条件?(x0)=y0.这里
h=min(a,
b),M=max|f(x、y)|.个人收集整理 勿做商业用途 (x,y)?RMdyy2?11?cex5.方程=的通解为y=.过(0，2)点的解的存在区间为_____.
2dx1?cex6.如果x1(t), x2(t)是非齐线性方程
dnxdtn+a1(t)dn?1xdtn?1+…+an-1(t)
dx+an(t)x=f(x)的两个解，又 dta≠0,1.则x2(t)+(a-1)x1(t)是方程_______的解. 7.常系数线性方程x(5)-4x???=0的通解为_____. 8.设x=x1≠0是二阶齐线性方程
d2xdt2+p(t)
dx+q(t)x=0的解，则经变换_____后，方程就化成dt关于新函数的一阶线性方程.个人收集整理 勿做商业用途 9.如果A(t)是n×n函数矩阵，f(t)是n维函数向量，它们在区间［a,b］上都_____.则对于区间［a,b］上任何数t0及任一常数向量η，方程组x′=A(t)x+f(t)，存在唯一解?(t)定义于区间［a,b］，且满足初始条件?(t0)=η.个人收集整理 勿做商业用途 ?x???3tx??2tx?cost10.初值问题?可化为与之等价的线性方程组_____的初值问题.
?x(1)?1,x(1)??3???1??2?11.如果二阶方程组x′=Ax有特征值-1，2，它们相应的特征向量分别是??,??.则方程组
?1??1?的基解矩阵为_____.个人收集整理 勿做商业用途 12.用形如V(x、y)=ax2+by2的李雅普诺夫函数，可确定方程组
稳定性为_____.个人收集整理 勿做商业用途 1 / 2
dydx=-x+2y3, =-2xy2零解的dtdt二、计算题(每小题7分，共56分)
dy1?x1.求方程=
dx1?y满足初始条件：x=2,y=-1的解.
dy=(x+y)2. dx3.解方程(y-x2)dx-xdy=0.
2.解方程
dy6y=-xy2. dxxdy22
5.求方程=x+xsiny满足y(0)=0的第二次近似解.
dx6.求方程x(4)-2x??+x=t2-3的通解.
4.解方程7.解方程x″+
2(x?)2=0. 1?x??x1?3x2?6x3?x1?8.求方程组?x?2??3x1?7x2?5x3的基解矩阵expAt.
?x??4x3?3三、证明题(8分)
若函数x1(t),x2 (t),…,xn(t)在区间a≤t≤b上线性相关，则在a≤t≤b上它们的伏朗斯基行列式W(t)≡0.个人收集整理 勿做商业用途 2 / 2
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