2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x（1）曲线y?2渐近线的条数为（）
x?1（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C
x2?x??，所以x?1为垂直的 【解析】：lim2x?1x?1x2?xlim2?1，所以y?1为水平的，没有斜渐近线故两条选C x??x?1（2）设函数f(x)?(e?1)(e（A）(?1)n?1x2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数，则f'(0)?
(n?1)!
（B）(?1)(n?1)! （C）(?1)n?1nn!
（D）(?1)n! 【答案】：C
【解析】：f(x)?e(e所以f(0)?(?1)'n?1'x2xn?2)?(enx?n)?(ex?1)(2e2x?2)?(enx?n)??(ex?1)(e2x?2)?(nenx?n)
n!
（3）如果f(x,y)在?0,0?处连续，那么下列命题正确的是（） （A）若极限limx?0y?0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微
x?yf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 22x?y（B）若极限limx?0y?0
（C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0f(x,y)存在
x?yf(x,y)存在 22x?y（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0【答案】：
【解析】：由于f(x,y)在?0,0?处连续，可知如果limx?0y?0f(x,y)存在，则必有f(0,0)?limf(x,y)?0 22x?0x?yy?0这样，limx?0y?0f(x,y)f(?x,?y)?f(0,0)f(?x,?y)?f(0,0)就可以写成，也即极限存在，可知limlim222222?x?0?x?0?x??y?x??yx?y?y?0?y?0也即f(?x,?y)?f(0,0)?0?x?0?y?o?0，
?x?0?y?0limf(?x,?y)?f(0,0)?x2??y2?由可微的定义可?x2??y2。
?知f(x,y)在(0,0)处可微。 （4）设Ik??esinxdx(k=1,2,3),则有D
ekx2（A）I1< I2 【答案】：(D) (B) I2< I2< I3. (D) I1< I2< I3. 【解析】： Ik??esinxdx看为以k为自变量的函数，则可知 ekx2ekx2即可知Ik??esinxdx关于k在?0,??上为单调增Ik'?esink?0,k??0,??， 函数，又由于1,2,3??0,??，则I1?I2?I3，故选D ?0??0??1???1?????????（5）设?1??0?,?2??1?,?3???1?,?4??1?其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关 ?c??c??c??c??1??2??3??4?的是（） （A）?1,?2,?3（B）?1,?2,?4 （C）?1,?3,?4（D）?2,?3,?4 k2 【答案】：（C） 0【解析】：由于??1,?3,?4??0c11?1?11?c1?0，可知?1,?3,?4线性相关。故选（C） ?11c3c41?1?1????11（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP???，P???1,?2,?3?，??2??Q???1??2,?2,?3?则Q?1AQ?（） ?（A）?1??1??2?（B?1???）??1???? ?2???2??2（C）??1??（D）???2?? ??2????1??【答案】：（B） ?100??【解析】：Q?P??110?100??，则Q?1????110??P?1， ??001????001???100?故Q?1AQ????110??100??100??1??100??1??P?1AP??110????1??110???1??001????001?????110????????? ??001????2????001????2??故选（B）。 （7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则p?x?y??（）(A)15 (B)13 (C)25 (D)45 【答案】：（A） ?e?x?4y【解析】：?X,Y?的联合概率密度为f(x,y)??,x?0,y?00，其它 ???y则P?X?Y???x?4y???5yx??f(x,y)dxdy??y?0dx?0edx??0edy?15 （8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ） （ (A)1(B)【答案】：(D) 12(C)?12(D)?1 【解析】：设两段长度分别为x,y，显然x?y?1,即y??x?1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9）若函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2f(x)?0及f(x)?f(x)?2e，则f(x)=________。 【答案】：ex 【解析】：特征方程为r?r?2?0，特征根为r1?1,r2??2，齐次微分方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0的通解为f(x)?C1e?C2e故f(x)?e （10） x2''''xx?2x.再由f(x)?f(x)?2e得2C1ex?C2e?2x?2ex，可知C1?1,C2?0。 'x?20x2x?x2dx________。 【答案】： ? 2【解析】：令t?x?1得 ?20x2x?x2dx??(t?1)1?t2dt???111?11?t2dt??2 （11）grad?xy???z?________。 ?y?(2,1,1)【答案】：?1,1,1? 【解析】：grad?xy????z?z1??y,x?,???1,1,1? ??2y?(2,1,1)?yy?(2,1,1)2（12）设 ????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?,则??yds?________。 ?【答案】： 3 1222222yds?y1?(?1)?(?1)dxdy?3y??????dxdy，其中?DD【解析】：由曲面积分的计算公式可知 D??(x,y)|x?0,y?0,x?y?1?。故原式?3?dy?011?y0y2dx?3?y2(1?y)dy?013 12（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E?xxT的秩为________。 【答案】：2 【解析】：矩阵xx的特征值为0,0,1，故E?xx的特征值为1,1,0。又由于为实对称矩阵，是可相似对角 T化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即rE?xx?2。 TT???11（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?,P(C)?,则P(ABC)?________。 23【答案】： 3 4【解析】：由条件概率的定义，PABC???P?ABC?P?C?， 其中PC?1?P?C??1???12?， 331?P?ABC?，由于A,C互不相容，即AC??，P?AC??0，又 213，故PABC?. 24P?ABC??P?AB??P?ABC??ABC?AC，得P?ABC??0，代入得P?ABC????三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤. （15）（本题满分10分） 1?xx2?cosx?1?,?1?x?1 证明：xln1?x21?xx2?cosx?1?，可得 【解析】：令f?x??xln1?x2f'?x??ln?ln1?x1?x2?x??sinx?x21?x1?x?1?x? 1?x2x??sinx?x1?x1?x21?x1?x2?ln??x?sinx21?x1?x
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