4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

要点梳理 1.任意角

（1）角的概念的推广

①按旋转方向不同分为 、 、 . ②按终边位置不同分为 和 . （2）终边相同的角

终边与角?相同的角可写成 . （3）弧度制

①1弧度的角：_______________________________叫做1弧度的角. ②规定：正角的弧度数为 ,负角的弧度数为 ，零角的弧度数为________ ,

l??,l是以角?作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.

rl③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小 ,

r仅与 .

④弧度与角度的换算：360°= 弧度；180°= 弧度. ⑤弧长公式： ,

扇形面积公式：S扇形= = . 2.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数定义

设?是一个任意角，角?的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r (r>0）,那么角?的正弦、余弦、正切分别是：sin??_______,cos??_____tan?=___,它们都是以角为自 ，以比值为 的函数.

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是： . 3.三角函数线

设角?的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的 .由三角函数的定义知，点P的坐标为 ,即 ,其中cos?= , sin??____, 单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与?的终边或其反向延长线相交于点T，则tan?= .我们把有向线段OM、MP、AT叫做?的 、 、 . 三角函 数线 有向线段 有向线段 有向线段 ______为正弦线 _______为余弦线 _______为正切线 4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： .

(2)商数关系: . 基础自测

1.若?=k·180°+45° (k∈Z)，则?在（ ）

A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 2.角?终边过点(-1,2),则cos?等于（ ） A.525525 B. C.? D.? 55553.已知角?的终边经过点(3，-1),则角?的最小正值是（ ）

2?11?5?3? B. C. D. 36644.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.1 B.4 C.1或4 D.2或4

115.已知?为第四象限角，且cos??,求1?tan2?? 22tan?题型一 三角函数的定义

例1 已知角?的终边在直线3x+4y=0上,求sin?,cos?，tan?的值.

A.

知能迁移1 设?为第四象限角,其终边上的一个点是P（x，-5），且osc??2x 4求sin?和tan?

题型二 三角函数值的符号及判定

例2 (1)如果点P(sin?·cos?，2cos?)位于第三象限，试判断角?所在的象限. (2)若?是第二象限角，试判断

sin(cos?)的符号.

cos(sin2?)知能迁移2 若sin??cos??0，且tan??cos??0，则角?的终边落在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型三 三角函数线及其应用

例3 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: （1）sin??13；（2）cos???

22知能迁移3 求下列函数的定义域：

（1）y?2cosx?1； （2）y?lg(3?4sin2x) 题型四 同角三角函数的基本关系式

例4（12分）已知?是三角形的内角，且sin??cos?? （1）求tan?的值；

1 5 （2）把

1用tan?表示出来，并求其值.

cos2??sin2?知能迁移4 分别求sin?,tan?的值： （1）cos???

定时检测 一、选择题

1.若角?和角?的终边关于x轴对称,则角?可以用角?表示为 （ ） A. 2k???(k∈Z) B.2k???(k∈Z) C. k???(k∈Z) D. k???(k∈Z)

2.已知点P(tan?,cos?)在第三象限,则角?的终边在第几象限 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若扇形圆心角的弧度数为2,且扇形弧所对的弦长也是2,则这个扇形的面积为

（ ）

1212 A.2 B. C. D.

sin1cos22sin22cos2144.已知角?的终边过点P（-8m，-6sin 30°）,且cos???，则m的值为（ ）

51133A.? B. C. ? D.

222212；（2）cos??m(m?1) 135.已知角?是第二象限角，且cos?2??cos?2，则角

?是（ ） 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

36.已知?是第一象限角, tan??，则sin?等于（ ）

44343A. B. C. ? D. ? 5555二、填空题

m7.若点P(m,n)(n≠0)为角600°终边上一点，则= .

n8.已知P在1秒钟内转过的角度为θ（0°<θ<180°），经过2秒钟到达第三象限，

经过14秒钟后又恰好回到出发点，则θ = .

1?cos2?9.若角?的终边落在直线y=-x上,则= . ?2cos?1?sin?sin?三、解答题

10.角?终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0),角?终边上的点Q与A关于

cos??sin??cos??tan??tan?的值. 直线y=x对称,求sin??sin11.设?为第三象限角,试判断

??2的符号 2cos12.已知

tan???1，求下列各式的值:

tan??1sin??3cos?（1）

sin??cos?（2）sin2??sin?cos??2