基本初等函数测试题及答案

基本初等函数测试题

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有下列各式：

①a＝a； ②若a∈R，则(a－a＋1)＝1；③3x?y?x?y; ④ 其中正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )

D．3

n

n2

0

43436

3

?－2?2＝－2.

3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( ) 1－

A．y＝3x B．y＝－2x C．y＝log0.1x D．y＝x

21－

4．三个数log2，20.1,21的大小关系是( )

5

11－11－－－

A．log2<20.1<21 B．log2<21<20.1 C．20.1<21

55555．已知集合A＝{y|y＝2x，x<0}，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝( ) A．{y|y>0} B．{y|y>1} C．{y|0

6．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P且x?Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x|1

A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}

1

7．已知0

2A．x>y>z B．x>y>x C．y>x>z D．z>x>y 8．函数y＝2x－x2的图象大致是( )

9．已知四个函数①y＝f1(x)；②y＝f2(x)；③y＝f3(x)；④y＝f4(x)的图象如下图：

- 1 -

则下列不等式中可能成立的是( )

A．f1(x1＋x2)＝f1(x1)＋f1(x2) B．f2(x1＋x2)＝f2(x1)＋f2(x2) C．f3(x1＋x2)＝f3(x1)＋f3(x2) D．f4(x1＋x2)＝f4(x1)＋f4(x2)

10．设函数f1(x)?x，f2(x)＝x1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))等于( )

－

1211

A．2010 B．20102 C. D. 20102012

3x2

11．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )

1－x1

－∞，－? A.?3??

1

－，1? C.??3?

－

11

－，? B.??33?1

－，＋∞? D.??3?

x1

??2e， x<2，

12．(2010·石家庄期末测试)设f(x)＝? 则f[f(2)]的值为( ) 2

?log3?x－1?， x≥2.?

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．给出下列四个命题：

(1)奇函数的图象一定经过原点；(2)偶函数的图象一定经过原点； (3)函数y＝lne是奇函数；(4)函数y?x的图象关于原点成中心对称. 其中正确命题序号为________．(将你认为正确的都填上) 14. 函数y?log1(x?4)的定义域是 . 2x

1315．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如下图所示，则a＝________，b＝________.

16．(2008·上海高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．

- 2 -

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝log2(ax＋b)，若f(2)＝1，f(3)＝2，求f(5)．

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)??2x.

(1)求f(x)的定义域；(2)证明f(x)在定义域内是减函数． 2x－1

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x.

2＋1

(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 20．(本小题满分12分)已知函数f?x??(m2?m?1)xm时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a>1>b>0)． (1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式． 11

22．(本小题满分12分)已知f(x)＝?2x－1＋2?·x.

212?m?3是幂函数, 且x∈(0，＋∞)

??

(1)求函数的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求证：f(x)>0.

- 3 -

参考答案

答案速查：1-5 BCDBC 6-10 BCACC 11-12 CC 1.解析：仅有②正确．答案：B

x?a，?x≥0?，?|x|

?2.解析：y＝a＝－x且a>1，应选C.答案：C ?a，?x<0?，?

3.答案：D 4.答案：B

5.解析：A＝{y|y＝2x，x<0}＝{y|0

6.解析：P＝{x|log2x<1}＝{x|0

答案：B

1

7.解析：x＝loga2＋loga3＝loga6＝loga6，

21

z＝loga21－loga3＝loga7＝loga7.

2111

∵0loga6>loga7.

222即y>x>z. 答案：C

8.解析：作出函数y＝2x与y＝x2的图象知，它们有3个交点，所以y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，排除B、C，又当x<－1时，y<0，图象在x轴下方，排除D.故选A.

答案：A

9.解析：结合图象知，A、B、D不成立，C成立．答案：C 10.解析：依题意可得f3(2010)＝20102，f2(f3(2010)) ＝f2(20102)＝(20102)1＝20102，

－

－

1－－1－

∴f1(f2(f3(2010)))＝f1(20102)＝(20102)＝20101＝.

22010答案：C

????1－x>0

?11.解析：由??1?x>－?3x＋1>0??3

x<1

1

?－

3

12.解析：f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，∴f[f(2)]＝f(1)＝2e0＝2. 答案：C

1－

13.解析：(1)、(2)不正确，可举出反例，如y＝，y＝x2，它们的图象都不过原点．(3)

x1

中函数y＝lnex＝x，显然是奇函数．对于(4)，y＝x是奇函数，而奇函数的图象关于原点对3称，所以(4)正确．

答案：(3)(4)

- 4 -

14. 答案：(4,5]

15.解析：由图象过点(－2,0)，(0,2)知，loga(－2＋b)＝0，logab＝2，∴－2＋b＝1，∴b＝3，a2＝3，由a>0知a＝3.∴a＝3，b＝3.

答案：3 3

16.解析：根据题意画出f(x)的草图，由图象可知，f(x)>0的x的取值范围是－11.

答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

17.解：由f(2)＝1，f(3)＝2，得???log2?2a＋b?＝1??2a＋b＝2??a＝2??logb?＝2 ??，

???2?3a＋?3a＋b＝4 ??

b＝－2.－2)，

∴f(5)＝log28＝3. 18.

∵x2>x1≥0，∴x2－x1>0，x2＋x1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x2)

2－

xf(－x)＝－11－2x2x－1

2－x＋1＝1＋2x＝－2x＋1

＝－f(x)，

所以函数为奇函数．

(2)证明：不妨设－∞2x1.

又因为f(x2)－f(x12x1－12?21)＝

2x2－2x－x＝x2－2x1?

2＋121＋1?2x1＋1??2x2＋1?

>0， - 5 -

f(x)＝log2(2x

∴

∴f(x2)>f(x1)．

所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 20.解：∵f(x)是幂函数， ∴m2－m－1＝1， ∴m＝－1或m＝2， ∴f(x)＝x

－3

或f(x)＝x3，

－3

而易知f(x)＝x在(0，＋∞)上为减函数，

f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数． ∴f(x)＝x3.

a?x

21.解：(1)由ax－bx>0，得??b?>1. a

∵a>1>b>0，∴>1，

b∴x>0.

即f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)∵f(x)在(1，＋∞)上递增且恒为正值， ∴f(x)>f(1)，只要f(1)≥0， 即lg(a－b)≥0，∴a－b≥1.

∴a≥b＋1为所求

22.解：(1)由2x－1≠0得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．

(2)在定义域内任取x，则－x一定在定义域内． 11??＋－f(－x)＝2x－12(－x) ??

211＋22＋1

＝?1－2x＋2?(－x)＝－·x＝·x. ??2?1－2x?2?2x－1?112＋1而f(x)＝?2x－1＋2?x＝xx，

??2?2－1?·∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．

(3)证明：当x>0时，2x>1， 11

∴?2x－1＋2?·x>0.

x

x

x

x

??

又f(x)为偶函数， ∴当x<0时，f(x)>0.

故当x∈R且x≠0时，f(x)>0.

- 6 -