第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权（教授）
第四章 刚体的转动
§4-1刚体运动
一、刚体
定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。 说明：⑴刚体是理想模型
⑵刚体模型是为简化问题引进的。
二、刚体运动
刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。
??a 特点：各点运动状态一样，如：、v等都相同，故可用一个点来
代表刚体运动。
（2）转动：1）绕点转动
2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动
说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等） 三、定轴转动（本章仅讨论此情况）
定义：转轴固定时称为定轴转动。 转动特点：⑴刚体上各点的角位移??相同
（如：皮带轮），各点的?、?相同。 2a(?r?)、 v(?r?)n⑵刚体上各点的、
?vo?r?wat??r??一般情况下不同。 ?说明：⑴?是矢量，方向可由右手螺旋法则
确定。见图4-1。 ???v⑵???r
图 4-1 1
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§4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
1、外力F在垂直于轴的平面内 如图4-2： 定义：
???⑴力矩： M?r?F （4-1）
??M轴od?r?F⑵力矩 ：大小：M?Fd?Frsin?
??（d?rsin?，称为力臂）；方向：沿（r?F）方向， ???它垂直于r、F构成的平面即M与轴平行。
??注意：?是r、F间夹角。
P?
?2、外力F不在垂直于轴的平面内
如图4-3： ??? F?F//(平行轴）?F（垂直轴）??∵ F//对转动无贡献
图 4-2轴?F||o?r?F?F??∴ 对转动有贡献的仅是F?。 ??F产生的力矩即F?的力矩，
故上面的结果仍适用。
??说明：F平行轴或经过轴时 M?0。
P
二、转动定律
????M?0时，转动状态改变，即??0，那么?与M图 4-3的关系如何？这就是转动定律的内容。
推导：
如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统， 这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。
考虑第i个质点： 质量：?mi
到轴的距离：ri
?? 受力：外力：Fi；内力：fi （设Fi、fi在垂直于转轴的平面内） 在切线方向上由牛顿定律有：
Fit?fit??miat??miri? （4-2）
??轴切线o?ri??Fi?ifi?mi?i图 4-4 2
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即 Fisin?i?fisin?i??miri? （4-3） （4-3）×ri: ?Firisin?i?firisin?i??miri2? （4-4） 每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有
?2?Frsin??frsin???mr??iiiiii??ii?? （4-5）
ii?i?可证明合内力矩证明如下：
?Frsin?iiii?0。
如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力， 他们是一对一对的作用力和反作用力。对i、j两
?质点，相互作用力的力矩之和=？设fij为第i个质点对
?j第个质点作用力，fji为第j个质点对第i个质点作 用力。
??∵fij与fji共线
∴力臂相等 ??又 ∵fji与fji等值反向
????∴fij与fji产生力矩等值反向，故fij与fji力矩合=0 由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。
??firisin?i?0
i轴od?rj?ri?mi??ffjiij?mj图 4-5?M??firisin?i?i令? 2J??mr?ii?i?
M?J? （4-6）
即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。 ????说明：⑴M?J?,与M方向相同
?⑵M?J?为瞬时关系
???????F?maa?FM⑶转动中M?J?与平动中地位相同，是产生的原因，是产生
的原因。
???M?J?*比较???
?F?ma⑷M为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。
三、转动惯量
1、J???miri2： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。
i? 3
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?m1r12?m2r22?????mnrn2（刚体由n个质点组成）? J??22组成的刚体）??rdm???rdV（?为密度，dV为体积元）（由连续体m?m2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。
例4-1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的
顶角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量； ⑵系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？
?l??l??l???m???m??解：⑴Jc?m??????? ?3??3??3?12 ?Ml(M?3m)
32222⑵JA?ml?ml?Ml
3⑶JA?ml2?2ml2?Ml2
222mBllCmAlmD图 4-6讨论：⑴J与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果）
⑵J与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果） ⑶J与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果）
⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量×
该轴与质心轴之距离平方。如
?l?211JA?Ml2?Ml2?Ml2?Jc?M?? ??333?3?
轴ACo2例4-2：如图4-7，质量为m长为l的匀质杆，求：
⑴它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？ ⑵它对过一端且平行于c轴的A解：⑴如图4-7所取坐标，Jc??l/2dmxxl2Bxl轴转动惯量为多少？ 2?dxm1dx?ml2
?l/2l12lm1⑵如图4-8所取坐标，JA??x2dx?ml2
0l3用平行轴定理解：
x2图 4-7轴AoxdxdmBlx1m1?l?JA?Jc?m???ml2?l2?ml2
1243?2?圆环、球等。
2图 4-8说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、
4
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例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量
分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为mc半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。
解：受力分析：
???mA ：重力mAg，桌面支持力N1，绳的拉力T1；
??mB ：重力mBg，绳的拉力T2；
????mc ：重力mcg，轴作用力N2，绳作用力T1'、T2' mAACRmC取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得：
?T1?mAa?? mBg?T2?mBa??1T'R?T'R?mcR2?1?22?及T1'?T1，T2'?T2，a?R?
mBB图 4-9???mBg?a??1m?m?mc?AB2?mAmBg?解得：?T1?
1?mA?mB?mc?2?1??m?m??Ac?mBg2??T2??1?m?m?mcAB?2?mBg?a???mA?mB讨论：不计mc时，?
mAmBg?T1?T2??mA?mB?（即为质点情况）
?N1?T1'?T1?mAg?T2B?mBgx?N2C?mcg?T2'A图 4-10例4-4：一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。轴
水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量（用m，
r，t和S表示）
解：受力分析
????m:重力mg、绳作用力T?? ????轮：重力Mg、轴作用力N、绳作用力T' 5
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