第2讲 空间中的平行与垂直
1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．
2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平
行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
热点一 空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
例1 (1)(2017·四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线， α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A．若n⊥α，n⊥β，m?β，则m∥α B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在α内的射影互相平行，则m∥n D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α 答案 A
解析 由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m?β，则m∥α，A正确； 若m⊥α，α⊥β，可能会现m?β， B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以， C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m?α， D错误．故选A.
(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形， 用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．有无数多个 B．恰有4个 C．只有1个 答案 A
解析 如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为
D．不存在
A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.
思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
跟踪演练1 (1)α，β，γ是三个平面， m, n是两条直线，则下列命题正确的是( ) A．若α∩β＝m, n?α， m⊥n，则α⊥β B．若α⊥β， α∩β＝m, α∩γ＝n，则m⊥n
C．若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线 D．若m⊥α， n⊥β， m∥n，则α∥β 答案 D
解析 逐一分析所给的命题：
A项，若α∩β＝m, n?α， m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥β，该说法错误；
B项，若α⊥β， α∩β＝m, α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误； C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误； D项，若m⊥α， n⊥β， m∥n，则α∥β，该说法正确．故选D. (2)(2017届株洲一模)如图，平面α⊥平面β， α∩β＝直线l, A，C是α内不同的两点， B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l, M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( ) A．当CD＝2AB时， M，N两点不可能重合
B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 答案 B
解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD?β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC?α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.
热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
例2 (1)(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三1
角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
2①证明：直线BC∥平面PAD；
②若△PCD的面积为27，求四棱锥P—ABCD的体积．
①证明 在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平面PAD.
1
②解 如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及
2BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM?底面ABCD， 所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x. 取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD， 所以PN＝
14
x. 2
因为△PCD的面积为27， 114所以×2x×x＝27，
22解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23. 所以四棱锥P—ABCD的体积
12?2＋4?V＝××23＝43.
32
(2)(2017·重庆市巴蜀中学三模)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形， M，N分别是EF，BC的中点， AB＝2AF, ∠CBA＝60°.
①求证： DM⊥平面MNA； ②若三棱锥A－DMN的体积为
3
，求MN的长． 3
①证明 连接AC，在菱形ABCD中， ∠CBA＝60°，且AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形， 又∵N为BC的中点， ∴AN⊥BC， ∵BC∥AD， ∴AN⊥AD，
又∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AN?平面ABCD， ∴AN⊥平面ADEF，又DM?平面ADEF，∴DM⊥AN. ∵在矩形ADEF中， AD＝2AF，M为EF的中点， ∴△AMF为等腰直角三角形，∴∠AMF＝45°， 同理可证∠DME＝45°，∴∠DMA＝90°， ∴DM⊥AM，
又∵AM∩AN＝A，且AM，AN?平面MNA， ∴DM⊥平面MNA.
②设AF＝x，则AB＝2AF＝2x，
在Rt△ABN中， AB＝2x, BN＝x, ∠ABN＝60°， ∴AN＝3x，
1
∴S△ADN＝×2x×3x＝3x2.
2
∵平面ABCD⊥平面ADEF, AD为交线， FA⊥AD，
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