复数的有关概念
1．(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数z＝3＋i
?1－i?i的虚部为( A．i B．2 C．－1 D．－i 答案 C 解析 因为
3＋i?1－i?i
＝?3＋i??1＋i?2i＝1＋2i
i＝2－i，所以z的虚部为－1.
2．(2019·汉中模拟)已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为( A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 答案 A
)
) ??1＝b，
解析 由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得?
?a＝－2，?
∴a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i，故选A.
3．(2020·东莞模拟)已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于( ) 11
A．－ B．2 C. D．－2
22答案 D
解析 (a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i， ∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0且1－2a≠0， 1
得a＝－2且a≠，即a＝－2.故选D.
2
1＋2i
4．(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z＝＋2iz，则|z|等于( )
1＋iA.25
B. C.2 D.5 22
答案 A
1＋2i1＋2i?1＋2i??3＋i?1＋7i解析 由题意得z＝＝＝＝，
10?1＋i??1－2i?3－i?3－i??3＋i?故|z|＝
12
12＋72＝，故选A. 102
思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．
复数的运算
命题点1 复数的乘法运算
例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( ) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i. (2)i(2＋3i)等于( )
A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i 答案 D
解析 i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D. 命题点2 复数的除法运算
1＋2i例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于( )
1－2i43A．－－i
5534C．－－i
55答案 D
1＋2i?1＋2i?21－4＋4i解析 ＝＝
1－2i?1－2i??1＋2i?1－?2i?2＝
－3＋4i34
＝－＋i. 555
43
B．－＋i 5534D．－＋i 55
故选D.
(2)(2019·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z等于( ) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 答案 D
2i?1－i?2＋2i2i解析 z＝＝＝＝1＋i.
21＋i?1＋i??1－i?命题点3 复数的综合运算
例3 (1)(2020·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则|z|等于( )
A.2 B．3＋4i C．5 D．7 答案 C
－1＋7i?－1＋7i??1－i?
解析 z＝＝＝3＋4i，
21＋i故z＝3－4i?|z|＝5，故选C.
z1z2
(2)(2019·天津市实验中学模拟)已知z1＝1＋i，z2＝1－i(i是虚数单位)，则 ＋＝________.
z2z1
答案 0 解析
z1z21＋i1－i2i－2i＋＝＋＝＋＝0. z2z11－i1＋i22
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝3＋ai，z·z＝4，则a为( ) A．1或－1 C．－1 答案 A
解析 由题意得z＝3－ai， 故z·z＝3＋a2＝4?a＝±1，故选A.
5－3i(2)(2019·晋城模拟)若＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n等于( )
1＋2i14121214A. B. C．－ D．－ 5555答案 B
5－3i?5－3i??1－2i?解析 依题意，得＝
1＋2i?1＋2i??1－2i?＝
5－10i－3i－6113
＝－－i，
555
B．1
D．不存在的实数
11312
所以m＝－，n＝－，所以m－n＝.故选B.
555
复数的几何意义
例4 (1)(2019·江西省临川第一中学模拟)已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝2－i，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A．第一象限 C．第三象限 答案 D
B．第二象限 D．第四象限
2－i?2－i??1－i?1－3i13
解析 因为z＝＝＝＝－i，
22221＋i
13
，－?，位于第四象限，故选D. 所以复平面上复数z对应的点为?2??2
(2)已知集合A＝{z|(a＋bi)z＋(a－bi)z＋2＝0，a，b∈R，z∈C}，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝?，则a，b之间的关系是( ) A．a＋b>1 C．a2＋b2<1 答案 C
解析 设z＝x＋yi，x，y∈R，
则(a＋bi)(x－yi)＋(a－bi)(x＋yi)＋2＝0，
化简整理得，ax＋by＋1＝0，即集合A可看成复平面中直线ax＋by＋1＝0上的点，集合B可看成复平面中圆x2＋y2＝1上的点，
若A∩B＝?，即直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1没有交点，d＝选C.
思维升华 复数与复平面内的点、向量是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 跟踪训练2 (1)(2019·临沂模拟)已知面内对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B
a
解析 由＝－1＋bi，
1－i
得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
??b＋1＝0，∴?即a＝－2，b＝－1， ?a＝b－1，?
B．a＋b<1 D．a2＋b2>1
1
>1，即a2＋b2<1，故22
a＋b
a
＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平1－i
B．第二象限 D．第四象限
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限，故选B. (2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标→→→
原点，若OC＝xOA＋yOB，则x＋y的值是________．
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