复变函数课后部分习题解答

22222?z?3解：即4?x?y?9为由圆周x?y?4与

x2?y2?9所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭

区域。

如图：

已知映射w=z3， 求

（1） 点z1=i，z2=1+i，z3=3+i，在w平面上的像。 解：z=reiθ，则w=z3r3⑴ Z1=i=e

i

。于是

?2,

z2=1+i=()=

Z3=+i=2（+i）=2()=

经映射后在w平面上的像分别是 W1=

=-i,

W2==（-+i）=-2+i2，

W3==8i

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3.5计算下列各题 （1）

=

=-((zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 -

dz )

=cos1-sin1

注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z) (z≠0) 当z→0时，极限不存在 解法一：首先假设z＝r eiθ 则有：(z/z*－z*/z) ＝r2 ( e-2 iθ- e2 iθ )/ r2 ＝-2isin2θ

可见是随θ发生变化而变化的变量 所以根据极限必须为常数可知 当z→0时，极限不存在 是以此题得证。 解法二：首先假设z＝x+iy

则(z/z*－z*/z) ＝(z*2 －z2 )/x2 ＋y2 ＝-4ixy/ x2 ＋y2 所以可见，当z→0时，

即当x→0, y→0时

因为有lim 2 (x→0, y→0)xy/ x＋y2 极限不存在所以当z→0时，

f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z)的极限不存在

是以此题得证。