光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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第三章 几何光学
1．证明反射定律符合费马原理
证明：设界面两边分布着两种均匀介质，折射率为n1和n2（如图所示）。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。
y A(x1,y1) B(x2,y2) x oC'c(x,0) 题1 图 （1）反正法：如果反射点为C'，位于ox轴与A和B点所著称的平面之外，那么在ox轴线上找到它的垂足点C\点，.由于AC'?AC'',BC'?BC'',故光线AC'B所对应的光程总是大于光线AC''B所对应的光程而非极小值，这就违背了费马原理。故入射面和反射面在同一平面内。
(2)在图中建立坐xoy标系，则指定点A,B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，反射点
C的坐标为(x,0)所以ACB光线所对应的光程为：
2??n1[(x?x1)2?y12?(x?x2)2?y2]
根据费马原理，它应取极小值，所以有
n1(x?x1)n1(x?x2)d????n1(sini1?sini2)?0
2222dx(x?x1)?y1(x?x2)?y2即： i1?i2
2．根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光
光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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线的光程都相等。
E C F D A B S S' 题2图
证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S'。设光线SC为电光源S发出的任意一条光线，其中球面AC是由点光源S所发出光波的一个波面，而球面DB是会聚于象点S'的球面波的一个波面，所以有关系式SC?SA，S'D?S'B.因为光程
'???SCEFDS'?SC?CE?nEF?FD?DS ?'???SABS'?SA?nAB?BS根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程相等。
3．睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d为30cm。求物体PQ的像P'Q'与物体PQ之间的距离d2为多少？
解：根据例题3.1的结果
1 PP'?h(1?)
nP n'?1.5
Q Q' n?1 P' 题3图 PP'?30?(1?1)?10cm 1.5 光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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4．玻璃棱镜的折射棱角A为600，对某一波长的光其折射率n为1.6。计算：（1）最小偏向角；（2）此时的入射角；（3）能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。
解：（1）等腰棱镜的折射率可以表示为
sinn??0?A
2Asin2其中?0为最小偏向角，可以由上式解出最小偏向角
A600?1?0?2sin[nsin]?A?2sin[1.6?sin]?600?2?53.130?600?46.260
22?1（2）偏向角为最小时，入射角可以表示为
i1??0?A246016'?600??530.08'
2'从棱镜向外透射的最大入射角为 sini2?1'?11, i2?sin?38.680
n1.6'i2?A?i2?600?38.680?21019'
又根据折射定律
sini11? sini2n所以i1?sin?1(sin21019')?35034'
5．一种恒偏向棱镜，它相当于两个300?600?900棱镜与一个450?450?900棱镜按图示方式组合在一起，白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变?1，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r。求证：如果sin?1?则?2??1，且光束i与r相互垂直。（这就是恒偏向棱镜名字的由来）
证：（1）根据光的折射定律 sin?1?sin?2 其中i2为光通过第一个界面的折射角
'?i2 i2?2，
光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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根据折射定律 nsini2?sin?2
所以 ?2??1, 由于光线入射的两界面相互垂直和?2??1，所以光束i与r相互垂直。
6．高5cm的物体距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm,求像的位置及高度，并做光路图。
解：若光线从左向右传播，如图所示
s??12cm,f'??10
根据凹透镜的成像公式
111??'得： 'ssfs'??60cm
由
y'?s'得：y'??25cm ?ys7．一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚象。求（1）此透镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？
yy'解：根据面镜公式 ?'?0得：
ss
51?'?0， s'?2cm ?10s根据面镜的成像公式
112112 ?'?， ??? r?5cmssr?102r所以此镜是凸面镜
8．某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜的顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？ 解：若光线从左向右传播，如图所示 s??40cm,f'?10cm
根据面镜成像公式
111?? s'sf'L f/ P -s 由上式可得 s?8cm
's/ F/
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