轨迹方程(平面+空间)

解析几何教案第二章 轨迹与方程

第二章 轨迹与方程

本章在上章建立的空间点与径向量及有序实数组的对应基础上，先介绍平面曲线的方程，然后过渡到曲面与空间曲线方程的研究，从而建立轨迹与方程的对应。

§2.1平面曲线的方程

教学目的：正确理解空间曲线与曲线方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲线方程的基本方法.

教学重难点: 正确的理解空间曲线方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲线方程. 教学过程: 一.曲线的一般方程

1.平面曲线(包括直线): 具有某种特征性质的点的集合,即: ①曲线上的点都具有这些性质; ②具有这些性质的点都在曲线上.

反映: 曲线上的点(x,y)满足一定的互相制约的条件.一般用方程F(x,y)或

y?f(x)来表达.

2. 定义2.1.1 当平面上取定了坐标后,如果一个方程与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的(x,y)必是曲线上某个点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标满足这个方程,那么这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形.

由上定义可得:

① 研究曲线的几何问题转化为研究其方程的代数问题.

② 已知曲线,要求它的方程,实际上就是在给定的坐标下,将这条曲线上的点的特征性质,用关于曲线上的点的两个坐标x,y的方程来表达.

例1 求圆心在原点,半径为R的圆的方程.

解: 根据圆的定义,圆上任意点M(x,y)的特征性质,即M(x,y)在圆上的充要条件是M到圆心O的距离等于半径R,即 OM?R

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应用两点距离公式,得 x2?y2?R (1)

两边平方得 x2?y2?R2 (2) 由于方程(2)与(1)通解,所以(2)即为所求圆的方程.

完全类似的,可以求圆心在(a,b)半径为R的圆的方程是:

(x?a)2?(y?b)2?R2.

注: 求曲线的方程,有时在化简过程中,会增添不属于给定条件的内容, 此时,必须从方程的开始检查一下,把方程中代表那些不符合给定条件的点限制掉.

例2已知两点A(?2,?2)和B(2,2),求满足条件MA?MB?4的动点M的轨迹方程.

解: 动点M在轨迹上的充要条件是MA?MB?4 用点的坐标来表达就是 移项得 两边平方整理得

(x?2)2?(y?2)2?(x?2)2?(y?2)2?4, (3) (x?2)2?(y?2)2?(x?2)2?(y?2)2?4, (x?2)2?(y?2)2?x?y?2, (4)

再两边平方整理得 xy?2 (5) 因为方程(2)和(3)同解,而方程(4)与(3)却不同解,但当方程(4)附加了条件

x?y?2?0, 即x?y?2后,方程(4)与(3)同解,从而方程(4)与(3)同解,所以方程

xy?2,(x?y?2)

为所求动点M的轨迹方程. 二.曲线的参数方程

当动点按照某种规律运动时，与它对应的径向量也将随着时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径向量，称为变向量，记做r(t).如果变数t(a?t?b)的每个值对应于变向量r的一个完全确定的值（模与方向）r(t)，那么就说r是变数t的向量函数，并把它记做：

r＝r(t)， (a?t?b) （6）

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设平面上取定的标架为{O;e1,e2},向量就可以用它的分量来表达,这样的向量函数（6）就可以写为 r(t)?x(t)e1?y(t)e2 (a?t?b) （7）

定义2.1.2 若取t(a?t?b)的一切可能取的值,如图2-2,由（7）表示的径向量

r(t)的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径向量，而这径向量可由t的某一值t0(a?t0?b)通过（7）完全决定，那么就把表达式（7）叫做曲线的向量式参数方程，其中t是参数。

由于曲线上点的径向量r(t)的分量为x(t),y(t)，所以曲线的参数方程也常写成

?x?x(t),下列形式： ? (a?t?b) (8)

y?y(t),?(8)式叫做曲线的坐标式参数方程..

从(8)式中消去t(若可能的话),可以得到曲线的普通方程:F(x,y)?0

例3 已知直线l通过定点M0(x0,y0),,并且它与非零向量v?(X,Y)共线,求直线l的方程.

解: 设M(x,y)为直线l上的任意点,并设OM?r,OM0?r0如图2-3,那么点M在l上的充要条件为向量M0M与v共线,也就是 M0M?tv 这里的t是随着点M而定的实数.又因为 M0M?r?r0 所以 r?r0=tv 即 r?r0+tv

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这就是直线l的向量式参数方程,式中的t(???t???)为参数. 小结：1. 直线l的向量式参数方程为: r?r0+tv

?x?x0?Xt2. 直线l的坐标式参数方程为: ?

?y?y0?Yt3. 直线l的对称式方程或标准方程为:

x?x0y?y0 ?XY4. 直线的一般方程:Ax?By?C?0,其中A?Y,B??X,C??(Yx0?Xy0). 5. 给定两直线: l1:A1x?B1y?C1?0, l2:A2x?B2y?C2?0, l1,l2的方向向量分别为:v1?{B1,?A1},v2?{B2,?A2}, 则有如下结论:

10 两直线l1,l2相交的充要条件为:

A1B?1 A2B2A1B1C1?? A2B2C2A1B1C1?? A2B2C220 两直线l1,l2平行的充要条件为:

30 两直线l1,l2重合的充要条件为:

40 在直角坐标系下,两直线l1,l2的交角为:

cos?(l1,l2)??A1A2?B1B2A1?B1?A2?B2A1B2?A2B1.

A1A2?B1B22222

从而有 tg?(l1,l2)?? 例4. 一个圆在一直线上无滑动的滚动,求圆周上的一点P的轨迹.

解: 取直角坐标系,设半径为a的圆在x轴上滚动,开始时点P恰好在原点O(图2-4),经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到A点,圆心移到C的位置,这时有

R?OP?OA?AC?CP.

设???(CP,CA), 于是向量CP对x轴所成的有向角为?(i,CP)??(??),

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