集合知识点总结

第一章 集合 集合知识点总结： 一、集合

1、集合的概念

集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对

象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母A,B,C...表示。 集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），

通常用小写写英文字母a,b,c...表示。

2、元素与集合的属于关系：?、?

若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a?A，读作“a属于A”

若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a?A，读作“a不属于A”。 3、空集?：不含任何元素的集合叫做空集，记作?。 4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。 6、常用数集的表示------------牢记，熟记

自然数集（非负整数集）N；正整数集N?或N；整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R?，均是无限集。

二、集合的表示法

1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“???”代替。 2、描述法：

元素的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素都具有性质p?x?，而不属于A的元素都不具有性质p?x?，则p?x?叫做集合A的一个特征性质。

集合A可以表示为?x?I|p?x??，它表示的集合A为p?x?是集合A的一个特征性质，

在集合I中具有性质p?x?的所有元素构成的。 注意：若元素的范围为R时，?R可以省略。

★经典例题：

例一、现已知一个集合为1,x,x2，则实数x满足的条件为 。【x?1,?1,0】 解：由于元素的互易性，因此得到关系x?1;x?1;x?x，从而解得x?1,?1,0。 例二、用适当的符号填空：

22???0 ? ?0?；0 ? ?；? ? ???；0 ? N?；?0? ? ?。

例三、给定集合A、B，定义A?B?xx?m?n,m?A,n?B。若A??4,5,6?，

??【15】 B??1,2,3?，则集合A?B的所有元素之和为 。

解：题意为从集合A中任意选取一个元素，与集合B中的任意一个元素作差，所得元素为

集合A?B的元素，这里要注意元素的互异性。 故x?4?1,4?2,4?3,5?1,5?2,5?3,6?1,6?2,6?3?1,2,3,4,5

即A?B??1,2,3,4,5?，元素之和为15。

例四、设集合A?2,3,a2?2a?3,B??a?3,2?若已知5?A，且5?B，求实数a。 解：由于5?A，故有a?2a?3?5，解得a??4或2。

但题目要求5?B，因此a?3?5，即a?2。因此a??4。 例五、实数集A满足条件：1?A，若a?A，则

2??1?A。 1?a（1）若2?A，求A；

（2）集合A能否为单元素集合？若能，求出A；若不能，说明理由； （3）求证：1?1?A。 a11?A。因此2?A，则有??1?A。 1?a1?2解：（1）由题意知，若a?A，则

由?1?A，则

1?1111???A。由?A，则因此A??2,?1,? ?2?A。

12?1?(?1)22?1?212。整理得到a?a?1?0， 1?a 验证??1?4?0，因此没有a满足上述方程，即集合A不能为单元素集合。

1 （3）由于题意有若a?A，则?A。

1?a11a?11因此当?A时，可有??1??A。

11?aaa1?1?a （2）若让集合A为单元素集合，必须满足a?例六、以下集合各代表什么： ①M?mm?2k,k?Z——偶数

②X?xx?2k?1,k?Z——奇数 这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。 ③Y?yy?4k?1,k?Z——奇数

④P?(x,y)y?x?1,x?R——点集（有序数对集合） 几何意义：满足直线y?x?1图像上所有的点；

???????? 代数意义：满足二元一次方程y?x?1的解。

例七、若集合A?xx2?(a?1)x?b?0中，仅有一个元素a，则a? 【

??1】 31b? 【】

9解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为a。

因此得到两个关系式：将a代入方程有a2??a?1?a?b?0和???a?1??4b?0， 从中求出a?211,b?。 39例八、已知集合A?xax2?3x?2?0，其中a为常数，且a?R。 （1）若A是空集，求a的范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的范围； （3）若A中至多只有一个元素，求a的范围。

解：（1）因为A是空集，则必须要求方程ax?3x?2?0无实根，即??9?8a?0， 因此a?2??9。 82，符合题意； 39。 8 （2）若A中只有一个元素，此时需要讨论a是否为0。 当a?0时，方程为?3x?2?0，解得x?2 当a?0时，方程为ax?3x?2?0，要求??9?8a?0，即a? 综上所述，a?0或

9。 89。 8 （3）若A中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合（1）（2）的答案即

可。故a的取值范围是a?0或a?三、子集和真子集

1、子集：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则集合A叫做集合B的子集。 记作：A?B或B?A

读作“A包含于B” 或“B包含A”

若集合P中存在着不是集合Q的元素，则集合P不是集合Q的子集。 记作：P?Q或Q?P

注意：（1）自身性：A?A，任何集合是它本身的子集。 （2）规定：??A，空集是任何子集的真子集。

（3）?与?区别： ?是从属关系，表示元素与集合之间的关系， ?是包含关系，表示集合与集合之间的关系。

2、真子集：若集合A是集合B的子集（简化：若A?B，数学语言的简洁），并且集合B中至少含有一个元素不属于集合A，则集合A是集合B的真子集。

记作：AB或BA

读作“A真包含于B” 或“B真包含A” 注意：（1）空集?是任何非空集合的真子集。

（2）A?B A?B 3、韦恩图：

包含关系的传递性

A?B,B?C，则A?C； 维恩图表示

A?B,B?C，则A?C

???集合N?,N,Z,Q,R之间的关系，用维恩图表示 4、个数规律：（card(A)表示集合A的元素个数） 元素 5、集合相等：

A?B,B?A，则A?B ★经典例题：

例一、判断下列集合是否为同一个集合

①A??1,2?,B??1,2? --------------不是，一个是点集，一个是数集

② A??x?N|0?x?5?,B??x?R|0?x?5?--------------不是，元素范围不同 ③A??y|y?2x?1?,B?子集 真子集 非空子集 非空真子集 ????x,y?|y?2x?1?----------不是，一个是点集，一个是数集

④A??x|x?5?,B??y|y?5?------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关 例二、用适当的符号填空：

? ? ?a?；?a? ? ?a,b?；?a? ? ?a?；? ? ?a?；

?? ?1,2,3,4?；? ? ? ?1,2,3? ??2例三、若集合A??1,3,x?,B?x,1，且B?A，则x? 【0或?3】

??22解：依题B?A，则x?x，或x?3，解出x?0,1,?3；

由于元素具有互异性，故舍去1。

例四、已知集合A?x1?x?4,B?xx?a，若A?B，则实数a的取值集合为

?????【aa?4】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由x?a确定，应往左画（若为x?a，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果； ④验证端点。

试验得到：a?4，当a?4时，由于A集合也不含有4，故满足A?B。

???综上所述，aa?4。

例五、满足?1??M??1,2,3?的集合M为 【?1?,?1,2?,?1,3?】

?解：因为?1??M，因此M中必须含有1这个元素。又知道M??1,2,3?

???故得到?1?,?1,2?,?1,3?。（?1,2,3?不满足真子集的要求） 四、集合的运算

1、交集：一般地，对于两个给定集合A,B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，

叫做A,B的交集。核心词汇：共有。 记作：AB

读作“A交B”

A??1,2,3,4,5?,B??3,4,5,6,8?，AB??3,4,5?

交集为?

在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！ 2、交集的性质：

AA?A；

如果A?B，则AB?A。

3、并集：一般地，对于两个给定集合A,B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A,B

的并集。核心词汇：全部。 记作：AB

读作“A并B”

只要是线下面的部分都要！ 4、并集的性质：

AA?A；

如果A?B，则AB?B

5、补集：如果给定的集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集

合，叫做A在U中的补集。核心词汇：剩余。

记作“

UA”

读作：“A在U中的补集”