第03讲 整式及其因式分解
1．代数式及求值
(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程； (3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值． 2．整式及有关概念
(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；
(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_； (3)整式：单项式和多项式统称为整式；
(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．
4．整式的运算 (1)整式的加减
整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数_不变． (2)整式的乘法
①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；
②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；
③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd； ④乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a－b_； 完全平方公式：(a±b)＝a±2ab＋b (3)整式的除法
①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 5．因式分解
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(1)定义：把一个多项式化成几个_整式乘积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形． (2)因式分解的方法 ①提取公因式法： ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．
系数：取各项系数的最大公约数??
公因式的确定：?字母：取各项相同的字母
??指数：取各相同字母的最低次数(3)因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x－4＝(x＋2)(x－2)．在实数范围内分解因式时x－4＝(x＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．
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考点1： 整式的运算
【例题1】（（2019?湖北武汉?8分）计算：（2x）﹣x?x． 【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可． 【解答】解：（2x）﹣x?x ＝8x﹣x ＝7x．
归纳：整式的运算中需注意以下几点： (1)幂的乘方→转化为指数乘法运算．即(a)＝a
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2＋3
(2)同底数幂的乘法→转化为指数的加法运算．即a·a＝a.
(3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方． (4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a＋b＝(a＋b)－2ab； ②a＋b＝(a－b)＋2ab； ③(a＋b)＝(a－b)＋4ab； ④(a－b)＝(a＋b)－4ab. 考点2： 因式分解
【例题2】把4a添上1项或2项，使它能够进行因式分解．
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(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；
(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可． 【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a＋2a＝2a(2a＋1)； 4a＋4a＋1＝(2a＋1)；4a－1＝(2a－1)(2a＋1)． (2)答案不唯一，例如：
①4a－4b＝4(a－b)＝4(a＋b)(a－b)； ②4a－a＝a(4－a)＝a(2－a)(2＋a)； ③4a－8ab＋4b＝4(a－2ab＋b)＝4(a－b). 归纳：公式法分解因式需注意以下几点：
(1)公式中的“a”和“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项； (2)灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止． 考点3： 整式的综合运用
【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：( x＋6x＋8)－(6x＋5x＋2)．发现系数“ ”印刷不清楚． (1)他把“ ”猜成3，请你化简：(3x＋6x＋8)－(6x＋5x＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“ ”是几？ 【解析】：(1)(3x＋6x＋8)－(6x＋5x＋2) ＝3x＋6x＋8－6x－5x－2 ＝－2x＋6.
(2)设“ ”是a，则
原式＝(ax＋6x＋8)－(6x＋5x＋2) ＝ax＋6x＋8－6x－5x－2 ＝(a－5)x＋6.
∵标准答案的结果是常数， ∴a－5＝0. 解得a＝5.
归纳：整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式
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一、选择题：
1. （2019?湖南株洲?3分）下列各式中，与3xy是同类项的是（ ） A．2x
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B．3xy
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C．﹣xy
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D．﹣y
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【答案】C
【解答】解：A.2x与3xy不是同类项，故本选项错误； B.3xy与3xy不是同类项，故本选项错误； C.﹣xy与3xy是同类项，故本选项正确； D.﹣y与3xy是同类项，故本选项错误；故选：C． 2. （ 四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是( )． A．2m+3n=5mn B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 【答案】B．
【解答】解：选项A中的两项不是同类项，不能合并；选项B是幂的乘方运，根据法则可知是正确的；选项C m2·m3=m5，错误；选项D，(m-n)2=m2-2mn+n2，错误，故选择B． 3. （2019?湖南株洲?3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ） A．x﹣1＝（x﹣1） C．﹣2y+4y＝﹣2y（y+2） 【答案】D
【解答】解：A.x﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误； B.a﹣2a+a＝a（a﹣1），故此选项错误； C.﹣2y+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误； D.mn﹣2mn+n＝n（m﹣1），正确． 故选：D．
4. （2018?宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（ ）
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D．(m-n)2=m2-n2
B．a﹣2a+a＝a（a﹣2） D．mn﹣2mn+n＝n（m﹣1）
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A．2a B．2b 【答案】B
C．2a﹣2b D．﹣2b
【解答】S1=（AB﹣a）?a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）?a+（AB﹣b）（AD﹣a）， S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）?a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b?AD﹣ab﹣b?AB+ab=b（AD﹣AB）=2b． 故选：B．
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