二、拉格朗日中值定理
设函数f(x)满足
（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导 则存在??(a,b)，使得
f(b)?f(a)?f?(?)
b?a或写成f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)(a???b)
有时也写成f(x0??x)?f(x0)?f?(x0???x)??x(0???1) 这里x0相当a或b都可以，?x可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线y?f(x)在点A(a,f(a))和点B(b,f(b))之间[包括点A和点B]是连续曲线：
条件（2）说明曲线y?f(x)[不包括点A和点B]是光滑曲线。
结论说明：曲线y?f(x) 在A，B之间[不包括点A和点B]，至少有点，它的切线与割线AB是平行的。
推论1 若f(x)在(a,b)内可导，且f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内为常数。 推论2 若f(x)和g(x)在（a,b）内可导，且f'(x)?g?(x)，则在[a,b]内
f(x)?g(x)?C，其中C为一个常数。
（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f(a)?f(b)特殊情形，就是罗尔定理）
三、柯西中值定理
设函数f(x)和g(x)满足： （1）在闭区间[a，b]上皆连续；
（2）在开区间（a，b）内皆可导；且g?(x)?0，则存在??(a,b)使得
f(b)?f(a)f?(?)?g(b)?g(a)g?(?)(a???b)
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)?x时，柯西中值定
34
理就是拉格朗日中值定理）
几何意义：考虑曲线的参数方程??x?g(t)t?[a,b]
?y?f(t)点A(g(a),f(a))，点B(g(b),f(b))曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB. 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。
四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）
定理1（带皮亚诺余项的n阶泰勒公式）
设f(x)在x0处有n阶导数，则有公式
____f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)1!2!n! （x?x0）
n其中Rn(x)?o[(x?x0)](x?x0) 称为皮亚诺余项。
（limRn(x)?0）
x?x0(x?x)n0前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的
a初等函数如e,sinx,cosx,ln(1?x)和(1?x)（?为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。
x定理2 （带拉格朗日余项的n阶泰勒公式）
设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n?1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对
x?[a,b]，有公式
f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)
1!2!n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1，其中Rn(x)?（?在x0与x之间）称为拉格朗日余项。
(n?1)!上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。x0?0时，也称为麦克劳林公式。
如果limRn(x)?0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。
n?? 35
（乙）典型例题
一、用罗尔定理的有关方法
例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0
证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故
1m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得
31（c，3）f(c)?[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，
3内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。
例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3?123f(x)dx?f(0)
求证：存在??(0,1)使f(?)?0
证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得
'23?1232f(x)dx?f(c)(1?)
3得到 f(c)?3?123f(x)dx?f(0)
对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0
例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k?1，有f(1)?k求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)
?1?1k0xe1?xf(x)dx，
111?x1?c证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)
0kk
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1令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)
这样F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理
（三个条件都满足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)
1??∴ F?(?)??e1[f?(?)?(1?)f(?)]?0
?又?e1??1?0，则f?(?)?(1?)f(?)
? 在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f?(?)?0，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x)，它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F?(?)?0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。
（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（l为实常数）
k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（k为非零常数）
（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)为连续函数） 证：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用罗尔定理 ∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x) ∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le 消去因子el?1l?1lxlxlxf??1??el?1f???1??0
，即证.
k（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用罗尔定理 F?(x)?kxk?1exf(x)?exf?(x)
kk 37
k?1?2 存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0
kk 消去因子e
k
?2
，即证。
G(x)（3）令F(x)?ef(x)，其中G?(x)?g(x) f(x)?eG(x)f?(x) 由F?(?3)?0
F?(x)?g(x)e 清去因子e
G(x)G(?3)，即证。
例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，f()?1，试证： （1）存在??(,1)，使f(?)??。
（2）对任意实数?，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1
证明：（1）令?(x)?f(x)?x，显然它在[0, 1]上连续，又
1212111?(1)??1?0,?()??0，根据介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??
222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上满足罗尔定理的条件，故存
在??(0,?)，使F?(?)?0，即
e????f???????f???????1??0
从而 f?(?)??[f(?)??]?1
（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为??，f(x)取为
?(x)?f(x)?x）
模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，（a,b）内皆可导，且f(a)?0，g(b)?0，则存在??(a,b)，使
f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0
证：令F(x)?f(x)g(x)，则F(a)?F(b)?0，显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条
件，则存在??(a,b)，使F?(?)?0，即证.
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