无穷多个数按一定顺序排成一列：u1,u2,?un,?,称为数列，记为数列{un},其中un称为数列的一般项或通项。
设有数列{un}和常数A。若对任意给定的??0，总存在自然数N?N(?)，当n>N时，恒有 |un?A|??，则称常数A为数列{un}的极限，或称数列{un}收敛于A，记为
n??limun?A或un?A(n??)。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，
其极限存在且唯一。 2．极限存在准则
（1）定理1.1.4（夹逼定理）设在x0的某空心邻域内恒有g(x)?f(x)?h(x)，且有
x?x0limg(x)?limh(x)?A， 则极限
x?x0x?x0limf(x) 存在，且等于A .
注 对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限.
3．重要结论：（1）若limun?a，则limun?a，其中a为任意常数。
n??n?? （2）limun?0?limun?0。
n??n?? （3）limun?a?limu2n?a且limu2n?1?a 。
n??n??n??【考点九】(1) 单调有界数列必有极限.
(2) 单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为??. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为??. 【评注】（1）在应用【考点九】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。 （2）判定数列{un}的单调性主要有三种方法：
I 计算un?1?un . 若un?1?un?0，则{un}单调递增；若un?1?un?0，则{un}单调递
减。
II 当un?0(n?1,2,则{un}单调递减。
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)时，计算
un?1uu . 若n?1?1，则{un}单调递增；若n?1?1，unununIII 令f(n)?un，将n改为x，得到函数f(x)。若f(x)(x?1)可导，则当f'(x)?0时，
{un}单调递增；当f'(x)?0时，{un}单调递减。
cca【例1】(1) (武汉大学，2003年)设0?c?1，a1?，an?1??n, 证明：?an?收敛，并求
222其极限。
?1(2) （中国科学院，2002年）设an?1?an?an （n>1），a1?1，则
2liman??? .
n??
【例2】设0?x1?3,xn?1?限。
【考点十】（夹逼准则）设有正整数N，当n?N时，yn?xn?zn，且
xn(3?xn)(n?1,2,?).证明数列{xn}的极限存在，并求此极
limyn?limzn?a，则limxn?a.
n??n??n??【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。
【例3】求下列极限：lim[(n?1)?n]n??kk(0?k?1)
2xn【例4】设an?n1?x?() （x?0），求liman .
n??2n
【例5】设xn?a?yn，且lim(yn?xn)?0，a为常数. 则数列?xn?和?yn?（ ）
n?? （A） 都收敛于a （B）都收敛，但不一定收敛于a （C） 可能收敛，也可能发散 （D）都发散
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【例6】设xn?an?yn，且lim(yn?xn)?0，?xn?，?yn?和?an?均为数列. 则
n??liman（ ）
n?? （A）存在且等于0 （B）存在但不一定等于0 （C）一定不存在 （D）不一定存在
【考点十一】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当f(x)连续时，有
1n（1）lim?fn??ni?1?i?1????0f?x?dx， ?n?i(b?a)?1b?a??(b?a)fa?(b?a)xdx????0?af(x)dx. ??n???sin?? ?1?n???n?b?an （2） lim?fnn??i?1【例7】求下列极限：
i?2??sinsin?nn?n?（1）lim? （2）lim?n??11n???n?1i?1n?n2?2?2?inntan
【例8】求下列极限：设函数f(x)?a(a?0,a?1)，求极限lim
x1ln[f(1)f(2)n??n2f(n)].
)?lim【考点十二】设xn?f(n)，则limxn?limf(nn??n??x???(f)x。也就是说，将数列中的正整
数n改为连续变量x，令x???，则数列的极限等于相应的函数的极限。
【例9】求下列极限：
n3?n2(1?cos（1）limn??n2?1?nn1)2n
（2）lim(1?n??a?1n)（其中a?0,b?0且a?1） b
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第三章 函数的极限
【考点分析】函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
f(x)?A?limf(x)?A. 也就是说，函数极限【考点十三】limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0x?x0limf(x)存在且等于A的充分必要条件是，左极限limf(x)与右极限limf(x)都存在，??x?x0x?x01x并且都等于A。
【评注】在求极限limf(x)时，如果函数f(x)中包含e或x项，则立即讨论左右极限
x?0f(0?0)?limf(x)?A和f(0?0)?limf(x)?A，再根据【考点十三】判断双侧极限
x??0x??0limf(x)是否存在。
x?0【例1】当x?1时，函数
xx?121?1x?1e的极限（ ）
（A）等于2. （B）等于0.
（C）为? （D）不存在但不为?
【例2】求极限limx?03?2e3?2e1x1x?sin?x. x
【考点十四】使用洛必达（L'Hospital）法则求
0型未定式的极限之前，一定要将所求极0限尽可能地化简。化简的主要方法：
（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，
而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限； （3）利用变量代换（通常是作倒代换，令x?1） t （4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达
到化简的目的。
【记忆要点】常见的等价无穷小代换：
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