第五章 定积分的应用

第五章 定积分的应用

定积分在自然科学和社会科学中都有大量的应用。在本节和下一节中，我们将利用定积分解决一些实际的几何和物理问题。通过这些问题的讨论，我们不仅是建立一些实用的公式，更重要的是通过这两节学会将一个量表达成定积分的分析方法——元素法.

§1 定积分的元素法

我们是借用两个实例——曲边梯形的面积A和变速直线运动的路程s，建立定积分概念的，也就是说我们实际上已经用定积分这个工具解决了实际问题，采用的方法就是四步法——分割、近似替代、作和、求极限. “四步法”是定积分应用的基本方法. 但它很麻烦！！！ 为了应用时更简便有效，我们把“四步法”中的繁文缛节剔除，加以精炼，而不必再按四步法形式化地一一述说.

我们对照引入定积分概念的具体引例来寻找其精髓. 首先求曲边梯形的面积A和求变速直线运动的路程s都是求一个总量，以求曲边梯形的面积A为例： 注意到把曲边梯形的面积A表示成定

b积分 ?af(x)dx的四个步骤中，最关键是第二步，即确定小曲边梯形面积?Ai的近似值f (? i )?xi，使得

A?lim?f(?i)?xi??af(x)dx.

??0

nb

也就是说，A部分分量?Ai可近似地表示为f (? i)?xi，? i为长度是?xi的第i个小区间上任取的点.

它用“以直代曲”的思想实现了问题的转化. 这步中, 如果我们想象区间[a, b]任分成的n个小区间是n只麻雀，只需

解剖一只即可，既然i是几无关紧要，干脆略去它，就抽象性地记小区间为 [x, x+dx]，记f (? i)?xi为f (x)dx. 即直接把其中第二步“近似替代”中?Ai?f(?i)?xi简记为dA?f(x)dx，并称之为量A的积分元素，所求面积A可视为这些面积元素dA在区间[a, b]上的“无限累积”，即

i?1A??dA??f(x)dx.

aa

bb由此即可得到精炼后的、将所求总量U表达为定积分的一般步骤如下：

i) 根据实际问题适当建立坐标系, 同时选取积分变量x ，并确定x的变化区间[a, b]； ii) 任取小区间[x, x+dx] ? [a, b]，求出对应于这个小区间上的部分微量 ?U的近似值f (x) dx，就把f (x) dx称为 所求量A的积分元素，且直接记为dU，即dU = f (x) dx；

iii) 以所求量的积分元素f (x) dx为被积表达式，在区间[a, b]上作定积分，即得

b

U?f(x)dx.

?a注 什么时候能用定积分这个数学模型来求一个量U , 即能够成完成以上三步，就必须要求量U满足以下三个要求：

(1) 量U是与一个变量x的变化区间[a, b] 以及定义在[a, b]上的连续函数f (x )有关(或说量U是决定于区间 [a, b]

和连续函数f(x) 的)；

(2) U对于区间[a, b]具有可加性，即如果把区间[a, b]分成若干部分区间，相应地U就被分成若干部分分量?U，而U就等于所有部分量?U之和；

(3) 如果?U 能被近似地表示为[x, x+dx]上点x处的值 f (x)与d x的乘积, 且?U与f (x) dx仅相差一个比d x高阶的无穷小.

这种用定积分解决实际问题、计算几何量或物理量的方法，叫 做定积分元素法，它是在熟知四步法的基础上，对四步法的简化. 例如，用元素法重求区间?a,b?上非负的连续函数y?f(x)与直线

x?a,x?b, y?0 所围成的曲边梯形( 图5-1)的面积问题：

可在?a,b?上任意取出一小区间段[x,x?dx]，取这一小段左端 图5-1

b点的函数值f(x)，作积分元素dA?f(x)dx，即得到所求面积为A??af(x)dx.

§2 平面图形的面积

一、直角坐标情形

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由定积分的几何意义可知，连续曲线y?f(x)与直线

x?a，x?b (a < b) 以及x轴所围平面图形的面积应为

A??af(x)dx.

一般地，由两条连续曲线y?f(x)、y?g(x)与直线x?a，x?b (a < b)所围平面图形(图5-1)的 面积为

bA??af(x)?g(x)dx.

为尽快掌握元素法，我们再用元素法推导此公式：

显然可选取积分变量为x，并可确定x的变化区间为 [a, b]，在[a, b]上任取一小区间 [x, x+dx]，它对应的小条 形区域的面积近似等于f(x)?g(x)dx，故面积元素为 dA?f(x)?g(x)dx， 所以

A?图5-2

y+dy y

b?baf(x)?g(x)dx.

同理，当平面图形是由连续曲线x??(y)，x??(y)与直线y?c，y?d以及y轴所围时(图5-2)，其面积为

. d A??c?(y)??(y)dy2例1 求由曲线y?lnx与直线x?1，x?2以及x轴所围平面图形(图5-3)的面积.

解 ∵x?[2,1]时，lnx?0，x?[1,2]时，lnx?0，∴所求面积

11/ 2

1 2 S??1lnxdx???1lnxdx??1lnxdx22

3112??[xlnx?x]1?[xlnx?x]1?ln2?.222212例2 求曲线y?x2与y?(x?2)2所围平面图形的面积. 图5-3 y?x2，

(,)解 由方程组? 解得交点：(图5-4). 11?2y?(x?2)?

方法1 取x为积分变量，直线x?1将图形分成S1与S2两部分，则

S??0x2dx??1(2?x)2dx?1[x3312102?(2?x)31]?2.

3方法2 取y为积分变量，则

S1 S2 1 2

3 S??1(2?y)?y)dy??12(1?y)dy?[2y?4y2]1?2. 图5-4 00033注 方法1稍微简单些. 计算定积分时，应注意根据图形特点来选择积分变量，一是积分较简单，二是尽量不分块. 例如计算由抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形面积.

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x例3 求椭圆a2?2y2?1所围平面图形的面积. b2a?x?acost,解 由对称性知A?4?0ydx，应用换元法，将参数方程?y?bsint,代入积分式，并注意到：

?当x由0变到a时，t由2减到0，则有

2A?4??bsintd(acost)?4ab?sin2tdt2?0?02?2ab?(1?cos2t)dt?2ab[t?1sin2t]0??ab.202?

?特别地，当a = b时，就是圆面积公式A?4?a2.

注 当曲线由参数方程给出时，可利用定积分的换元法将参数方程表达式代入积分表达式，并转化为新的积分限,

即选变量参数为积分变量. 具体做法如下:

一般地，设曲线C由参数方程x?x(t)，y?y(t)t?[?,?]给出，y?y(t)连续，x?x(t)有连续的导数，x?(t)?0，且x(?)?a,y(?)?b,(a?b)，则由曲线C、直线x?a,y?b以及x轴所围平面图形的面积为

A??

??y(t)x?(t)dt.（变换后不论上下限的大小，永远是： 下(上)限对应的值作新下(上)限）

二、极坐标情形

设平面曲线是由极坐标方程给出：

r?r(?)(?????)

给出，其中r?r(?)在[?,?]上连续，我们仍利用元素法来计算这曲线 弧r?r(?)与射线???,???所围图形（图5-5）的面积.

现在是曲边扇形，不能直接用圆扇形的面积公式A? 1r2?. 图5-52

选取积分变量为?，并可确定?的变化区间为[?,?]，在[?,?]上任取一小区间[?, ?+d?]，它对应的小曲边扇形

区域的面积可用小扇形的面积来近似，所以面积元素为dA?1r2(?)d?，所以

2?A?1?r2(?)d?.

2?例4 计算阿基米德螺线 r?a?(a?0)上对应于?从0 变到2?的一段曲线与极轴所围成图形(图5-6)的面积.

解 取?为积分变量, ??(0,2?), 则

22? A?1?0(a?)2d??a?32?0 2a?

O r = a?

26?4a2?2. 图5-6 3- 3 -

例5 计算双纽线r2?a2cos2?所围图形(图5-7)的面积.

解 只需求阴影部分面积S的4倍，直接用上述公式，得

?14S?4??04a2cos2?d??2a2[1sin2?]0?a2.

22? 图5-7

§3 立体的体积

一般立体体积的计算是利用多元函数的重积分解决的， 但有两种特殊的几何立体的体积可以用一元函数的定积分来计算.

一、 平行截面面积函数为已知的立体的体积

设某空间立体介于两平面x?a与x?b(a?b)之间(图5-8)，如果已知对任意的x?[a,b]，它被垂直于x轴的

任意平面所截得的截面面积S是x的连续函数S(x)，求该立体的体积V.

利用元素法，在[a, b]内任取一小区间[x, x+dx]，对应于 这个小区间上的薄片立体的体积近似于S(x)dx，即该立体体 积的积分元素dV?S(x)dx，所以所求体积是

V??aS(x)dx.

同理，若某空间立体被垂直于y轴的任意平面所截得的 截面面积为y的连续函数S(y),y?[c,d]，则该立体的体积为

dbO a x x+dx b V??cS(y)dy. 图5-8

例1 一平面经过半径r的圆柱体的底圆中心，并且与底圆交成?角(图5-9)，试计算这个平面截圆柱体所得立体的体积.

解法1 取这个平面与底面的交线为x轴，底面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，则底圆的方程为

x2?y2?r2. 立体过点x( x?[r,-r]且垂直于x轴的截面是一个直角三角形，其直角边的长度分别为y?r2?x2 与

ytan??r2?x2?tan?，从而截面三角形的面积为S(x)?1(r2?x2)tan?，故所求体积为

2rrV?1??r(r2?x2)tan?dx?1tan?r2x?[1x3]??2r3tan?. r2233

O x r x

O y r x

图5-9 图5-10

解法2 取坐标系同上，并取y为积分变量，立体过点y(y?[0,r])且垂直于y轴的截面是一个

?，底为2r2?y2，从而截面矩形的面积为S(y)?2tan??yr2?y2，故所求体积为 矩形(图5-10)，其高为ytan3rrV?2tan??0yr2?y2dy??tan??0r2?y2d(r2?y2)??tan??2(r2?y2)23

r0z

?2r3tan?.

3- 4 -

r