1．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝
m＋ni
7＋ni，则＝( )
m－ni
A．－1 B．1 C．－i D．i
m＋ni7＋7i
解析：选D.由m(1＋i)＝7＋ni得m－7＋(m－n)i＝0，所以m＝n＝7.所以＝＝m－ni7－7i
1＋i（1＋i）2
＝＝i，故选D.
21－i
2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
222A. B． 33323C. D． 33
11?－x， 解析：选B.由x2＋3xy－1＝0可得y＝?3?x?
11?－x 所以x＋y＝x＋?3?x?
2x122?2?. ＝＋≥当且仅当x＝时等号成立33x3?2?
3．已知三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
83A. B．43
32383C. D．43或 93
1
解析：选D.当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3××4＝43；当长、宽分
2
423183
别为4和6时，体积V＝×××6＝.
3323
sin x＋cos x＋|sin x－cos x|
4．(2015·江西省八所中学联考)已知函数f(x)＝，则下列结论2
正确的是( )
A．f(x)是奇函数
π
B．f(x)在?0，?上递增
2??
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，1]
解析：选C.由题意得，f(x)本质上为取sin x，cos x中的较大值，为周期函数，周期T＝2π，在(0，2π]上的解析式为：
π
cos x，x∈?0，?4??
??π5π
f(x)＝?sin x，x∈?，?.因为f(x)为非奇非偶函数，
4??4
?5π，2π??cos x，x∈??4?
πππ
所以A错误；f(x)在?0，?上单调递减，在?，?上单调递增，所以B错误；C正确；
4???42?2?
，所以D错误．
?2，1?
5．(2015·郑州模拟)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( )
51－∞，? A.?B．(－∞，3] 8??51
，＋∞? C.?D．[3，＋∞) 8??
解析：选C.f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，
1133
x＋?在[1，4]上恒成立，因为y＝?x＋?在[1，4]4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥?2?x?2?x?1513
4＋?＝，故选C. 上单调递增，所以t≥?4?82?
－
6．(2015·山西省考前质量检测)若关于x的不等式4ax1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为( )
1?0，1? 0，? A.?B．?2??2?C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
33－－－
解析：选B.不等式4ax1<3x－4等价于ax1
44
时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0 3－ 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a21≤×2 4 11 0，?，故选B. －1，即a≤，所以a的取值范围是??2?2由f(x)在(0，2π]上的解析式可知，其值域为?－ x，x≥1??log1 7．函数f(x)＝?2的值域为________． x?2，x<1?解析：当x≥1时，log1x≤log11＝0， 2 2 所以当x≥1时，f(x)≤0. 当x<1时，0<2x<21，即0 8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________． 1－ 解析：若a>1，有a2＝4，a1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－x为减函数，不合 2 题意． － 若0 11 故a＝，m＝，检验知符合题意． 4161答案： 4 1|a| 9．设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________． 2|a|b 1|a|1aa＋ba1?ba?5＋＝＋＝＋＝＋＋≥； 2|a|b2ab4ab4?4ab?4 －a?－aa＋b－a1|a|11?b13＋当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋?≥－＋1＝. ?2|a|b－2ab－4ab4?－4ab?44 1|a|3 综上所述，＋的最小值是. 2|a|b43答案： 4 10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围是________． 解析：若在[－1，1]内不存在c满足f(c)>0， 1p≤－或p≥1，?2?f（－1）≤0， 则?即 3?f（1）≤0，? p≤－3或p≥. 2 33 解得p≤－3或p≥，取补集得－3 22 3－3，?. 即满足题意的实数p的取值范围是?2?? 3－3，? 答案：?2?? 11．(2015·太原市模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，πC＝. 3 (1)若△ABC的面积等于3，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值． π 解：(1)因为c＝2，C＝， 3 π 所以由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab， 3 因为△ABC的面积等于3， 1 所以absin C＝3，所以ab＝4， 222??a＋b－ab＝4，联立?解得a＝2，b＝2. ??ab＝4， (2)因为sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A， 所以sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 所以sin Bcos A＝2sin Acos A， π ①当cos A＝0时，A＝； 2 ②当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a， 22??a＋b－ab＝4，2343联立?解得a＝，b＝， 33?b＝2a，? ππ 所以b2＝a2＋c2，因为C＝，所以A＝. 36 ππ 综上所述，A＝或A＝. 26 12．(2015·河北省七校第一次联考)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)当a>0时，解不等式f(x)≤0； (2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解． 解析：当a>0时， ??? 解：(1)因为ex>0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0， 1 x＋?≤0， 又因为a>0，所以不等式可化为x??a?1 －，0?. 所以不等式f(x)≤0的解集为??a? (2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解， 2 所以原方程等价于ex－－1＝0. x 22 令h(x)＝ex－－1，因为h′(x)＝ex＋2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， xx 所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数， 1－－ 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e3－<0，h(－2)＝e2>0，所以方程f(x)＝x 3 ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上， 所以整数t的所有值为{－3，1}． 13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝2，an＋1＝Sn＋n，等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝9，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列． (1)求{an}，{bn}的通项公式； 1115 (2)求证：当n≥2时，2＋2＋…＋2<. b1b2bn4 解：(1)由an＋1＝Sn＋n，得an＝Sn－1＋(n－1)(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＋1＝an＋1，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)． － 又a2＝3，所以an＋1＝2n2(a2＋1)＝2n，从而an＝2n－1(n≥2)． ??2，n＝1， 而a1＝2，不符合上式，所以an＝?n ?2－1，n≥2.? 因为{bn}为等差数列，且前三项的和T3＝9，所以b2＝3， 可设b1＝3－d，b3＝3＋d，由于a1＝2，a2＝3，a3＝7，于是 a1＋b1＝5－d，a2＋b2＝6，a3＋b3＝10＋d，因为a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列， 所以(5－d)(10＋d)＝36，解得d＝2或d＝－7(舍去)，所以bn＝b1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. 1?11111?1－(2)证明：因为2＝<＝＝， bk（2k－1）2（2k－1）2－12k（2k－2）4?k－1k? 所以，当n≥2时， 111111111??1??11? －??＝11－＋－＋…＋?2＋2＋…＋2＝2＋2＋…＋2<1＋2??23?b1b2bn134???n－1n??（2n－1） 11151－?<1＋＝. ＋?n?4?44 x2y23 14．(2015·福州地区八校联考)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，M是椭 ab2 圆C上的一点，且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，P(0，t)是y轴上一点，满足|PA|＝→→ |PB|，PA·PB＝4，求实数t的值． 解：(1)由已知得2a＝4，则a＝2， c3又e＝＝， a2 所以c＝3，b2＝1， x22 所以椭圆C的方程为＋y＝1. 4 (2)易知A(－2，0)，设B(x1，y1)， 根据题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
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