∵点D，点D'关于AC对称， ∴DF＝D'F，DD'⊥AC， ∴DP＝D'P， ∴DP+PE＝D'P+PE，
∴D'E⊥CD时，DP+PE有最小值为D'E， ∵AD＝4，CD＝6， ∴AC＝
＝
＝2
，
∵S△ADC＝×AD×CD＝×DF×AC， ∴DF＝∴DD'＝
， ，
∵∠CDF＝∠D'DE，∠DED'＝∠DFC＝90°， ∴△DFC∽△DED'， ∴
，
∴DE＝＝，
∴D'E＝
∴DP+PE最小值为
＝．
＝．
15．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠D， 在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
，
∵∠MAN＝45°， ∴∠EAM＝45°＝∠NAM， 在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN， ∴BM+DN＝MN； 故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下： 如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF， 则∠ABM＝90°＝∠D， 在△ABM和△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， 即∠MAF＝∠BAD＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠FAN＝45°， 在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS）， ∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM， ∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABM＝∠MCN＝90°， ∵CN＝CD＝6，
， ， ，
∴DN＝12， ∴AN＝∵AB∥CD， ∴△ABQ∽△NDQ， ∴∴
＝
＝
＝
＝， ＝
＝6
，
＝，
；
∴AQ＝AN＝2
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2， 解得：x＝2， ∴BM＝2， ∴AM＝∵BC∥AD， ∴△PBM∽△PDA， ∴
＝
＝＝，
， ． ＝
＝2
，
∴PM＝AM＝∴AP＝AM+PM＝3
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