高等数学同济第六版下册答案

高等数学同济第六版下册答案

【篇一：同济第六版高等数学课后答案】

a?(??? ?5)?(5? ??)? b?[?10? 3)? 写出a?b? a?b? a\\b及a\\(a\\b)的表达式?

解 a?b?(??? 3)?(5? ??)? a?b?[?10? ?5)?

a\\b?(??? ?10)?(5? ??)? a\\(a\\b)?[?10? ?5)?

2? 设a、b是任意两个集合? 证明对偶律? (a?b)c?ac ?bc ? 证明 因为

x?(a?b)c?x?a?b? x?a或x?b? x?ac或x?bc ? x?ac ?bc? 所以 (a?b)c?ac ?bc ?

3? 设映射f ? x ?y? a?x? b?x ? 证明 (1)f(a?b)?f(a)?f(b)? (2)f(a?b)?f(a)?f(b)? 证明 因为

y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y

?(因为x?a或x?b) y?f(a)或y?f(b) ? y?f(a)?f(b)?

所以 f(a?b)?f(a)?f(b)? (2)因为

y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y?(因为x?a且x?b) y?f(a)且y?f(b)? y? f(a)?f(b)?

所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?

4? 设映射f ? x?y? 若存在一个映射g? y?x? 使g?f?ix? f?g?iy? 其中ix、iy分别是x、y上的恒等映射? 即对于每一个x?x? 有ix x?x? 对于每一个y?y? 有iy y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?

证明 因为对于任意的y?y? 有x?g(y)?x? 且f(x)?f[g(y)]?iy y?y? 即y中任意元素都是x中某元素的像? 所以f为x到y的满射? 又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2? 因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?

对于映射g? y?x? 因为对每个y?y? 有g(y)?x?x? 且满足f(x)?f[g(y)]?iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射?

5? 设映射f ? x?y? a?x ? 证明? (1)f ?1(f(a))?a?

(2)当f是单射时? 有f ?1(f(a))?a ?

证明 (1)因为x?a ? f(x)?y?f(a) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(a))? 所以 f ?1(f(a))?a?

(2)由(1)知f ?1(f(a))?a?

另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(a))?存在y?f(a)? 使

f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(a)且f是单射? 所以x?a? 这就证明了f ?1(f(a))?a? 因此f ?1(f(a))?a ?6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?

解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)? 33 (2)y?1 1?x2?

解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)y?1??x2? x

解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域d?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1 4?x2?

解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?

解 由x?0得函数的定义d?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)?

解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ? 22 ?)?

(7) y?arcsin(x?3)?

解 由|x?3|?1得函数的定义域d?[2? 4]? (8)y?3?x?arctan1? x

解 由3?x?0且x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?

解 由x?1?0得函数的定义域d?(?1? ??)? (10)y1 ?ex ?

解 由x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? ??)?

7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2?

(3)f(x)?x4?x3?g(x)?x3x?1?

(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?

(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同? ?|sinx| |x|??

?3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设?(x)???464?0 |x|?3? 的图形?

解 ?(??|sin?|?1? ?(?)?|sin?|?2? ?(???|sin(??)|?2?

662442442?(?2)?0?9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)y?x? (??? 1)? 1?x (2)y?x?ln x? (0? ??)?

证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?y1?y2?x1

1?x1?x21?x2?x1?x2(1?x1)(1?x2)?0? 所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的? 1?x

(2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有 y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?lnx1 x2?0?

所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?

10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?

证明 对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)且?x1??x2?

因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以 f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?

这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明?

(1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?

(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?

证明 (1)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?