1．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝292，则序号n等于( ) A．98 B．99 C．100 D．101 答案：A 2．(2010·高考重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 答案：A
1
3．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－
4
n|＝( )
3
A．1 B.
4
13C. D. 28
解析：选C.设x2－2x＋m＝0的根为x1，x2且x1 1 x2－2x＋n＝0的根为x3，x4且x3 4 7 又x1＋x2＝2，∴x2＝， 4 又x3＋x4＝2，且x1，x3，x4，x2成等差数列， 171?135－＝，∴x3＝，x4＝. ∴公差d＝?3?44?24417351 ∴|m－n|＝|×－×|＝，故选C. 44442 4．(2012·深圳质检)已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是( ) 1 A．4 B. 4 C．－4 D．－143 解析：选A.∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55， ∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11. a4－a3 ∴kPQ＝＝4，故选A. 4－3 5．已知数列的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________. 5n2＋n 答案：－ 2 6．(2011·高考天津卷)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________． 解析：设首项为a1，公差为d， a＋2d＝16，①??1∴? 1 20a＋×20×19d＝20.②1?2? 由②得2a1＋19d＝2.③ ③－①×2得15d＝－30，∴d＝－2， ∴a1＝16－2d＝20. 1 ∴S10＝10a1＋×10×9d＝200－90＝110. 2 答案：110 1．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( ) 1 A．－2 B．－ 2 1 C. D．2 2 解析：选B.根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1， 1 ∴a1＝1，又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－. 22 2．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋n(a∈R)，则下列关于数列{an}的说法正确的是( ) A．{an}一定是等差数列 B．{an}从第二项开始构成等差数列 C．a≠0时，{an}是等差数列 D．不能确定其是否为等差数列 n?n－1?dd 解析：选A.由等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝(a1－)n＋n2可知，该数 222 列{an}一定是等差数列． S2011S20093．在等差数列{an}中，a1＝－2012，其前n项的和为Sn.若－＝2，则S2012＝( ) 20112009 A．－2012 B．－2010 C．2011 D．2012 S2011S2009 解析：选A.∵－＝2， 20112009 ∴(a1＋1005d)－(a1＋1004d)＝2，∴d＝2， 2012×2011 ∴S2012＝2012a1＋d＝－2012. 2 4．(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14 B．21 C．28 D．35 解析：选C.∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28. 5．(2010·高考辽宁卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 3×2 解析：设等差数列公差为d，则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，① 2 6×5 S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.② 2 联立①②两式得a1＝－1，d＝2， 故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 答案：15 6．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式为________． 111111 解析：由an＋1·an＝an＋1－an，得－＝1，即－＝－1，又＝－1，则数列{}anan＋1a1anan＋1an 1 是以－1为首项和公差的等差数列，于是＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， an 1 ∴an＝－. n 1 答案：an＝－ n 7．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 解：设数列{an}的公差为d，依题设有 2 ??2a1?a3＋1?＝a2，? ?a1＋a2＋a3＝12，? 22 ??a1＋2a1d－d＋2a1＝0，即? ?a1＋d＝4.? ???a1＝1?a1＝8，?解得或? ?d＝3???d＝－4. 1 因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)． 2 a111．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0 a10 的n的最大值为( ) A．11 B．19 C．20 D．21 a11解析：选B.∵<－1，且Sn有最大值， a10 ∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0， 19?a1＋a19? ∴S19＝＝19·a10>0， 2 20?a1＋a20?S20＝＝10(a10＋a11)<0， 2 故使得Sn>0的n的最大值为19. Sn2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26.记Tn＝2，如果存在正整 n 数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.∵{an}为等差数列，由a4－a2＝8，a3＋a5＝26，可解得a1＝1，d＝4，从而 1 Sn＝2n2－n，∴Tn＝2－，若Tn≤M对一切正整数n恒成立，则只需Tn的最大值≤M即可．又 n 1 Tn＝2－<2，∴只需2≤M，故M的最小值是2. n 11 3．(2012·汕尾质检)等差数列{an}中有两项am和ak满足am＝，ak＝，则该数列前mk km 项之和是______． 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 11 am＝a1＋?m－1?d＝a1＝ kmk 解得， 11 ak＝a1＋?k－1?d＝d＝ mmk mk 所以Smk＝(a1＋amk) 2 ??? ??? 11mk＋1mk?1 ＋＋?mk－1?·?＝. mk?2?mkmk2mk＋1答案： 2 4．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，则Sn的最大值为________． 解析：法一：由S17＝S9，得 179 25×17＋(17－1)d＝25×9＋(9－1)d， 22 解得d＝－2， n ∴Sn＝25n＋(n－1)·(－2)＝－(n－13)2＋169， 2 ∴由二次函数性质，当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：先求出d＝－2，∵a1＝25＞0， 1n≤13?2?an＝25－2?n－1?≥0 由?，得， 1?an＋1＝25－2n≤0? n≥12 2＝ ??? ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法三：由S17＝S9得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0， 故n＝13时，Sn有最大值． 法四：由d＝－2得Sn的图象如图所示(图象上一些孤立点)， 9＋17 由S17＝S9知图象对称轴为n＝＝13， 2 ∴当n＝13时，Sn取得最大值169. 答案：169 5．数列{an}中，a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)，且满足an＋2＝2an＋1－an，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，n∈N*，求Sn的解析式． 解：(1)∵an＋2＝2an＋1－an，n∈N*， ∴an＋2＋an＝2an＋1，∴数列{an}为等差数列． 又∵a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)＝2， a4－a1d＝＝－2. 4－1 ∴an＝8＋(－2)(n－1)＝－2n＋10. (2)令an＝－2n＋10＝0，则有n＝5. ??－2n＋10， n≤5， ∴|an|＝? ?2n－10， n≥6.? n?n－1? ∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝8n＋(－2)＝－n2＋9n； 2 当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋(－a6－a7－…－an) ＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2(－52＋9×5)－(－n2＋9n)＝n2－9n＋40. 2??－n＋9n，n≤5， 综上，Sn＝?2 ?n－9n＋40，n≥6.? 6．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)． (1)求数列{an}的通项公式an； 111 (2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜. 54anan＋1 解：(1)由已知条件：Sn＝nan－2n(n－1)， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1－2(n－1)(n－2)， an＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 整理得：an－an－1＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－3. 11 (2)证明：＝ anan＋1?4n－3??4n＋1? 111 ＝?4n－3－4n＋1?， 4??111Tn＝＋＋…＋ 1×55×9?4n－3??4n＋1? 11 ＝?1－4n＋1? 4?? 11 Tn为递增数列，因此＝T1≤Tn＜. 54
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