数值分析
1. 数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化。 病态问题：因初始数据微小变化，导致计算结果剧烈变化的问题 良态问题：初始数据微小变化，只引起计算结果微小变化的计算问题。
数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有误差，而计算过程中产生的舍入误差不断增长。例子
2. 误差的来源：①模型误差：在数学建模时，由于忽略了某些次要因素而产生的误差；②观测误差：在采集原始数
据时，由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；③截断误差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差；④舍入误差：计算机因数系不全，由接受和运算数据的舍入引起的误差。
科学计算中值得注意的地方：①避免两个相近的数相减；②合理安排量级相差很大的数之间的运算次序，防止大数吃小数；③避免绝对值很小的数做分母；④简化运算步骤，减少运算次数。 3. 用计算机做科学计算时的溢出错误。
机器数系是有限的离散集，机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M和m，若一个非零实数的绝对值大于M，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m，则计算机产生下溢错误。上溢错误时，计算机中断程序处理；下溢错误时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。
4. 解非线性方程fx=0单根的牛顿法具有二阶收敛。简单迭代法具有一阶收敛性。当f'x*10且有2阶导数时，Newton迭代法才有二阶敛速。
5. 对(n+1)个节点的Newton-cotes求积公式，在n￡7时，Cotes系数大于0，而在n>7时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。
6. 当系数矩阵A是严格对角占优矩阵，Jacobi格式、Seidel格式都收敛。
7. 用高斯消元法求解线性方程组，一般使用选主元的技术是因为要减少舍入误差。
8. 解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域内取初值，有初值限制。 9. 二分法是全部收敛，简单迭代法是局部收敛。
10. 四种插值方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多项式插值。
11. 截断误差是对参与计算的数学公式作简化处理后所产生的误差，在所学的数值方法中插值和数值积分都涉及截断误差处理的内容，分别为插值余项和积分余项。
()()x2xnx2xnx例：e=1+x++?++?无穷项相加，我们用e=1+x++?+近似计算ex就产生截断误差。
2!n!2!n!x12. 线性方程组迭代解法的基本思想是将现行方程组作等价变形，得到同解的易于作迭代计算的线性方程组，用计算出的迭代序列来逼近解。考虑线性方程组Ax=b及由次方程组构造的迭代格式x式的收敛方法有：
(1) 若rB<1，则迭代格式收敛；
(2)若B<1，则迭代格式收敛，B是矩阵B的某种算子范数；
(3) 若矩阵A是严格对角占优矩阵，则线性方程组Ax=b的Jacobi迭代和Seidel迭代对任意初值都收敛； (4)若矩阵A是对称正定矩阵，则线性方程组Ax=b的Seidel迭代对任意初值都收敛； (5) Sor法收敛的必要条件是松弛因子w满足0 ()()()(x)10，x?é?a,bù?(3)f(x)存在且不变号，x?é?a,bù? ?é?a,bù?上的为一根x。 ?a,bù?，只要f(x)f(x)>0，则迭代公式产生的数列{x}一定收敛于é'''''*00k14. 引入分段插值的原因及目的。 Runge现象：随着节点n的增加，误差不但没减小，反而不断增大。原因是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式，而高次多项式的舍入误差是随次数的增加而不断变大的，用高次多项式插值作数值计算时舍入误差将“淹没”了增加节点提高的精度。Runge现象否认了用高次插值公式提高逼近精度的做法，因此引入了分段插值法。定义如下： ()k=0,1,?,n。若函数j(x)满足条件：(1)j(x)在é?a,bù?上连续；(2)j(x)=y，k=0,1,?,n；(3)j(x)在每个小区间é?x,xù?是m次多项式，k=0,1,?,n-1，则称j(x)为f(x)在é?a,bù?上的分段m次插值多项式。 15. Newton法的基本思想：将函数f(x)做线性化处理，把方程f(x)=0转化为对应的近似方程L(x)=0，再从 L(x)=0中构造迭代公式。Newton法在x附近是平方收敛的。 取é?a,bù?上的n+1个节点xk：a=x0 kkk+1*16. Seidel格式比Jacobi格式占用的内存空间大。 17.①列范数：A=max11￡j￡n?ai=1nij；②行范数：A￥=max?aij；③F范数：A1￡i￡nj=1nF=i,j=1?an2ij； ④2范数：A2=lmax，lmax是ATA最大特征值；⑤谱半径：rA=maxlk； 1￡k￡n()⑥条件数：CondpA=A×Ap()-1p。特征值：mI-A=0求得的m即为A的特征值。 b-aéfa+fbù ?2?矩阵的条件数可反映系数的敏感性，其值越大，解对系数越敏感，因而方程组越病态。 18. 2点Newton-Cotes公式【梯形公式】： ò()ababfxdx?()()()3点Newton-Cotes公式【Simpson公式】： ò()fxdx?ù?a+b?b-aéfa+4f+fbêú ?6?è2÷??()复化梯形公式： ò()ababn-1ùb-a2''b-aé，余项：a,bùRf,T=-hfh，h?éfxdx?fa+fb+2fx?êkún?? 2n?12k=1?()()()()()复化Simpson公式： ò()n-1n-1ù?xk+1+xk?b-aé， fxdx?fa+fb+4f+2fxê??kú?÷6nê2è?k=0k=1ú??()()()()h4b-a(4)b-a?h?(4)余项：Rf,Sn=- a,bùfh=-fh，h?é???÷180è2?2880()4()()19. 插值与拟合的区别。 插值与拟合都是有一组数据点构造一个近似函数，但他们的近似要求不同。二者都属于函数逼近范畴。 ()个互异的点x,x,x,?,x及各个点对应的函数f(x),f(x),f(x),?,f(x)，找出f(x)的一个近似函数P(x)，使得P(x)=f(x)，P(x)即为插值函数。 ②拟合函数在几何上的描述为穿越所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。拟合是对f(x)在区间é?a,bù?上的n+1个点x,x,x,?,x(不一定互异)，根据各个点对应的函数f(x),f(x),f(x),?,f(x)画出的点图来选择用什么类型的函数做逼近函数j(x)，逼近函数j(x)通过mind，d=(d,d,d,?d)，d=f(x)-j(x)的拟合条件获得，则这样求出的j(x)称为拟合函数。 20. Lagrange插值步骤：①利用互异插值节点x,x,x,?,x，算出插值基函数l(x)，i=0,1,?,n； ②利用插值基函数构造插值多项式L(x)。 ①插值函数在几何上的描述为过所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。插值是对fx在区间é?a,bù?上的n+1 012n012nii012n012nT012niii012ninn优点：利用插值基函数很容易得到Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中很方便。 缺点：当插值节点增减时，linx全部要随之变化，在实际计算中很不方便。 n次Lagrange插值多项式至少需要n+1个插值节点数据。与其相比，Newton插值具有承袭性和易于变动节点的特点。 ()21. L-插值和N-插值的异同。 L-插值：lin()nn?x-xk??x-xk? x=??Lx=y?ni??÷÷k=0,k1ièxi-xk?k=0,k1ièxi-xk?i=0n()()w(x)，x?(a,b)其中：w(x)=(x-x)，x余项：R(x)=?(n+1)!fn+1xnnn+1n+1k=0kk?é?a,bù? f()(x)()N-插值：fé?x,x,x,?,xù?=?wx=n!余项：E(x)=fé?x,x,?,x,xù?w(x) ()nfxi'n+1n012nni=001nn+1i()()()()()同：①L(x)=N(x)，余项R(x)=E(x)；②表达式均为基函数的线性组合。 nnnnfx=fx0+fé?x0,x1ù?x-x0+fé?x0,x1,x2ù?x-x0x-x1+?+fé?x0,x1,x2,?,xnù?x-x0x-x1?x-xn-1()()()异：①L-基与N-基不同；②计算L-插值主要计算基函数，计算N-插值主要计算组合系数或各阶商差； ③高次N-插值包含低次N-插值，而L-插值不然。 22. 数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。 ①直接法使用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法，这里的“准确解”是指在求解过程中不考虑舍入误差影响得出的解。 ②迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量，逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解，是一种逐次逼近的方法。 23. 三对角线性方程组用追赶法计算求解效果最好，对称线性方程组用LDL法。 24. 若n点的求积公式具有2n-1次的代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式。 n点插值型求积公式的代数精度至少是n-1，至多为2n-1。 【注意：若下标从1开始，则代数精度为2n-1，若下标从0开始，则代数精度应为2n+1】 25. 判断迭代的收敛阶：写出迭代方程计算各阶导数,判断各阶导数在根处是否为0,若j判断求积公式的代数精度：取fx=x，kT(n) (x)10,则最高为n阶收敛。 ()k=0,1,?，代入Rxk=òf(x)dx-V，验证Rxk=0是否成立， a()b()Rx0=Rx1=Rx2=?=0，第一个使Rxk10的k值，则对应的代数精度为k-1。 26. 求微分方程初值问题的Euler方法的绝对稳定域是1+lh￡1，绝对稳定区间是é?-2,0ù?。 ()()()()第一章 绪论 1.绝对误差e*：e*=x*-x绝对误差限e*：e*=x*-x￡e* 相对误差e*：*rrx*-xe*x*-x**相对误差限er：er= ￡e*e==rxxx2.绝对误差计算公式： *****yex-xey??y ex*±y*=ex*±ey*ex*×y*?y*ex*+x*ey*e?*÷?2*èx?y()()()()())()()()()()*rr3.相对误差计算公式： erx±y?(**x*ex*±y*ey*x*±y*()e(x×y)?e(x)+e(y)e?x??e(x)-e(y) ?èy÷?******rrrr*4.绝对误差：ex*=dx相对误差： ()ex*x()=dx=dlnx xeV=eabc=()()5.有效数字：ex*=x*-x￡0.5′10m-n，则称x*有n位有效数字。 6.相对误差与有效数字的关系： ①若x有n个有效数字，则x的相对误差为：erx**()?V?V?V?V?V?Vea+eb+eceV=eabc=ea+eb+ec ?a?b?c?a?b?c()()()()()()()()()*x*-x1=￡′101-n； x2a1②若x的相对误差为：erx*()*x*-x1=￡′101-n，则x*有n个有效数字。 x2a1+1()第二章 非线性方程的球根方法 ln(b-a)-lne1-1xk-xk-1 ()()，构造迭代公式xk+1=jxk，取定一个初值x0，由迭代 ()★收敛判别：①当x?é?a,bù?存在与x1,x2无关的正常数?a,bù?时，有jx?é?a,bù?；②任取x1,x2?é()L<1，满足 *j(x1)-j(x2)￡Lx1-x2，则j(x)在é?a,bù?中有唯一的不动点x，且迭代公式xk+1=j(xk)对任取的*x0?é?a,bù?，产生的数列都收敛于x。 ()x是j(x)的不动点，j(x)在x处连续，j(x)<1时，x*★②可替换为：j'x￡L<1，x?é?a,bù?，定理同样成立 '*'k+1=jxk局部收敛；j'x>1时,xk+1=jxk发散。 LLk*★误差估计式：x-xk￡x-x，x-xk￡x-x 1-Lkk-11-L10*()(()()1-LeLk精度e，x-xk ②证明采取的迭代公式具有收敛性：x?é?a,bù?，j(x)?é?a,bù?，j(x)￡L<1； ()()''③迭代求解，用xk-xk-1 3.判断迭代的收敛阶：写出迭代方程计算各阶导数,判断各阶导数在根处是否为0,若j★步骤：①确定迭代格式：xk+1=jxk； (n)()() ③求出未知系数，建立迭代公式，计算f(x)10，则迭代收敛阶最高为m。 f(x)4.Newton迭代法：x=x-当f(x)10时，且有二阶导数，则至少是平方收敛，否则为线性收敛。 f(x) ②据已知条件建立方程组：f'x*=0，f''x*=0，??； n*k() (x)10,则最高为n阶收敛。 ()*k+1k’k2★收敛判别：fx?Cé?a,bù?，满足下列三个条件： ‘()①当f(a)×f(b)<0；②f(x)10，x?é?a,bù?；③f(x)存在且在é?a,bù?上不变号； 则在é只要f(x)f(x)>0，则迭代公式产生的数列{x}，一定收敛于é?a,bù?内任取一点x，?a,bù?上的唯一根x ''''*000k第三章 线性方程组的解法 1.数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。 ①直接法使用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法，这里的“准确解”是指在求解过程中不考虑舍入误差影响得出的解。 ②迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量，逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解，是一种逐次逼近的方法。 2.迭代法： ì(k+1)?x1=??(k+1)=?xJacobi迭代法：í2?????(k+1)?xn=?()1b-ax()-ax()-?-ax())(a1(k)(k)(k)b1-a12x2-a13x3-?-a1nxna11kk22112332nn22kxi(k+1)n1?k?=?bi-?aijx(j)÷i=1,2,?,n aiiè?j=1,j1i1(k)(k)(k)bn-an1x1-an2x2-?-ann-1xn-1ann()()k(k+1)=D-1L+Ux()+D-1bBJ=D-1L+UgJ=D-1b Ax=bD-L-Ux=bx()()ì(k+1)1(k)(k)(k)x=b-ax-ax-?-ax?11331nna111122??(k+1)1(k+1)(k)(k)i-1nx=b2-a21x1-a23x3-?-a2nxn1??2k+1)k+1)(((k)? a22Seidel迭代法：íxi=?bi-?aijxj-?aijxj÷aiiè?j=1j=i+1????1?(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)x=b-ax-ax-?-axn11n22nn-1n-1?nannn?(())()(D-L)x(x(k+1)k+1)-1-1-1-1kk(k+1)=(D-L)Ux()+(D-L)bBS=(D-L)UgS=(D-L)b =Ux()+bxSor迭代法：以Seidel迭代法为基础，可以改变收敛速度。 =1-wx()(k)i-1nk?(k+1)(k+1)(k+1)w?(k+1)+wxSxi=1-wxi+?bi-?aijxj-?aijx(j)÷i=1,2,?,n aiiè?j=1j=i+1()k+1x()=D-wL()-1éwU+1-wDùx(k)+D-wL??()()-1ùwbBw=(D-wL)é?wU+(1-w)D?gw=D-wLwb -1()-1
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