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?S1?q?1?qn?2. ∵S1?0,qn?2?0,
3①当q=1时，(q?1)3?0,?an?an?2?2an?1. ②当0?q?1时,(q?1)3③当q?1时,3?0,?an?an?2?2an?1.
(q?1)?0,?an?an?2?2an?1.
?2a2．当n?2时,若q?1,则an?an?2?2an?1;综上以上，我们可知：当n=1时，a1?a3若0?q?1,则an?an?2?2an?1; 若q
?1,则an?an?2?2an?1.
点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到Sn与an之间的关系式：
?S1,(n?1)an??
?Sn?Sn?1.(n?2)nn3i2n
例５ 已知数列{an}满足an>0，且对一切n∈N*，有?a?S, 其中 Sn?i?1?ai?1i，
2(1) 求证：对一切n∈N*，有an?1?an?1?2Sn；
(2) 求数列{an}的通项公式；
n(3) 求证：?k?1akkn?3．
讲解 (1) 由
?ai?13i3i?Sn ①
2n?1得
?ai?1?Sn?1 ②
2322②-①得 an?1?Sn?1?Sn=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1
∵ an+1 >0，
2 ∴an?1?an?1?2Sn ．
2(2) 由an?1?an?1?2Sn，得
an?an?2Sn?1 (n≥2)，
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两式相减，得
(an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an， ∵an+1+ an >0，
∴an+1 - an =1．(n≥2)
当n=1，2时易得，a1=1，a2=2，∴an+1 - an =1(n≥1) ． 从而{ an}是等差数列，其首项为a1=1，公差d=1，故an=n ．
n(3)
?k?1akkn??k?1n1k(3
?1??k?21k?122?1k?11)
?1?1?22?1n?n?1
?2??3. 点评 关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．
例6 如图,一粒子在区域?(x,y)|x?0,y?0?上运动,在第一秒内它从原点运动到点
B1(0,1),接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位
长度．
（1）设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，试写出
{an}、{bn}、{cn}的通相公式；
（2）求粒子从原点运动到点P(16,44)时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设A1(1,0),A2(2,0),?,An(n,0)，当粒子从原点到达An时，明显有
a1?3, a2?a1?1,
yB5B4B3B2B10C1A1A2A3A4A5A6xC2C3C4C5 a3?a1?12?a1?3?4, a4?a3?1,
a5?a3?20?a3?5?4, a6?a5?1,
? ? a2n?1?a2n?3?(2n?1)?4, a2n?a2n?1?1, ∴a2n?1?a1?4[3?5???(2n?1)]＝4n?1, a2n?a2n?1?1?4n2.
b2n?1?a2n?1?2(2n?1)?4n?4n?1, b2n?a2n?2?2n?4n?4n．
c2n?1?b2n?1?(2n?1)?4n?2n?(2n?1)?(2n?1), c2n?a2n?2n?4n?2n?(2n)?(2n),
2即cn?n?n.
2222222（2）有图形知，粒子从原点运动到点P(16,44)时所需的时间是到达点C44所经过得时
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间c44 再加（44－16）＝28秒，所以t?442?44?28?2008秒．
（3）由cn?n2?n?2004，解得1?n??1?28017，取最大得n=44,
经计算，得c44＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点C44，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．
点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．
例７ 已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1. （1）写出数列?an?的前三项a1,a2,a3； （2）求数列?an?的通项公式； （3）证明：对任意的整数m?4，有
1a4?1a5???1am?78 .
讲解 （１）为了计算前三项a1,a2,a3的值，只要在递推式Sn?2an?(?1)n,n?1中，对n取特殊值n?1,2,3，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由a1?S1?2a1?1,得a1?1;
2由a1?a2?S2?2a2?(?1),得a2?0;
3由a1?a2?a3?S3?2a3?(?1),得a3?2.
（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的Sn．事实上 当n?2时，有
an?Sn?Sn?1?2(an?an?1)?2?(?1),
n?1即有 an?2an?1?2?(?1),
nn?2从而 an?1?2an?2?2?(?1),
n?3 an?2?2an?3?2?(?1),
?? a2?2a1?2.
接下来，逐步迭代就有
an?2n?1a1?2n?1?(?1)?2n?2?(?1)???2?(?1)2n?1
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?2n?1?(?1)[(?2)?(?1)n?2nnn?1?(?2)n?1n?2???(?2)] ?2?23n?12[1?(?2)3n?1]
[2?(?1)].23[2n?2经验证a1也满足上式，故知 an??(?1)n?1],n?1.
其实，将关系式an?2an?1?2?(?1)n?1和课本习题an?can?1?d作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对an?2an?1?2?(?1)n?1的两边同除以(?1)n，便得
an(?1)n??2?an?1(?1)n?1?2．
令bn?an(?1)n,就有
bn??2bn?1?2，
于是 bn?这说明数列?bn???23??2(bn?1?23)，
2??是等比数列，公比q??2, 首项b1??1，从而，得 3??(b1?23)?(?2)n?1 bn?即
an(?1)2323?(?13)?(?2)n?1，
n?1n?1?(?)?(?2)， 33?(?1)n?12
故有an?[2n?2],n?1.
（３）由通项公式得a4?2. 当n?3且n为奇数时，
1an?1an?1?3[1n?222?1?12n?1?1n?2]
?3232??12222n?3n?1n?1?2
?1a41a5?2n?1?2?3n?2?11n?2?22n?3n?2222(?12n?1 ).当m?4且m为偶数时，????am
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