梯度、散度、旋度的关系

麦克斯韦方程组

向量场 数量场

有源场 无源场 保守场（无旋场）有旋场（非保守场）

保守场=有势场=无旋场------环流等于零!

有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性!

3.含时磁场可以感生出电场 4.含时电场可以感生处磁场 上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处 （1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度 ； （2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。

（3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值；

（4）磁场强度的旋度 == 该点处 传导电流密度 与位移电流密度 的矢量和\\

把不明白的字母列举一下： E 是电场强度矢量

D 是电位移矢量（也叫电感应强度） 应该还有一个电传导向量 E=D+? B 是磁感应强度矢量

H 是磁场强度矢量 H=B+? 其中内在的联系是： D=εE B=μH

1

注意上面这些大写字母都是矢量

物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分

▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来） ·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的

第一个说的是，电场的源是电荷。＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。

第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。

第三个公式，也是看微分形式。这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。负号是方向。这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。

第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。 、

倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思

梯度

1.坡度。

2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。

4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。

向量场A，数量场u

2

▽称为汉密尔顿算子， ▽·▽=▽=△，

2

△称为拉普拉斯算子。 梯度▽u

散度▽·A （点乘结果为数） 旋度▽×A （叉乘结果为向量） 首先梯度和旋度是向量，而散度是标量。

1.梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。其结果为向量。

2.散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。其结果为标量。

3.旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。其结果为矢量。 三者的关系：注意各自针对的对象不同。 1.梯度的旋度▽×▽u=0

梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。 2.梯度的散度▽u=△u 3.散度的梯度▽(▽·A) 4.旋度的散度▽·(▽×A)=0

旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。 5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽A=▽(▽·A)-△A 旋度场的旋度

也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。 1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。反之则不行，还需要其他条件。 2.已知某向量场，求原数量场（势场）。 某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。

因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。若旋度不为0，则没有势场。 拉普拉斯算子△

laplace算子就是偏偏x，偏偏y，偏偏z；拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为散度。

托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。 梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。

梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。 散度

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）。

3

2

2

4