数列的求和问题
考情考向分析
高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.
热点分类突破
热点一 分组转化求和
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
例1 (2017·山东省平阴县第一中学模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝－2a1＝2，a3＋b2＝－1，S3＋2b3＝7. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
2，n为奇数，??
(2)令cn＝?2an求数列{cn}的前n项和Tn.
－，n为偶数，??bn解 (1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，且q>0， 由题易知， a1＝－1，b1＝2，
?a3＋b2＝－1，?d＋q＝0，??
由?得?2 ???S3＋2b3＝7，?4q＋3d＝10，
5
q＝－舍去?，此时d＝－2， 解得q＝2?4??∴an＝－2n＋1，bn＝2n.
(2)由(1)知，an＝－2n＋1，bn＝2n， 2，n为奇数，??
∴cn＝?2n－1
n－1，n为偶数，??2
n
当n为偶数时，奇数项和偶数项各有项，
2∴Tn＝(c1＋c3＋c5＋?＋cn－1)＋(c2＋c4＋?＋cn) ＝n＋(c2＋c4＋?＋cn)， 令Hn＝c2＋c4＋c6＋?＋cn，
2n－52n－13711
∴Hn＝＋3＋5＋?＋n－3＋n－1，
22222
2n－52n－1137
Hn＝3＋5＋?＋n－1＋n＋1， 42222以上两式相减，得
2n－133444
Hn＝＋3＋5＋?＋n－1－n＋1 42222244412n－1＝?21＋23＋?＋2n－1?－－n＋1 ??22
＝
??1?n?2?2?1－
??4??12n－1
11－4
－－n＋1 22
136n＋13＝－， 66×2n266n＋13∴Hn＝－. 99×2n－16n＋1326
故当n为偶数时，Tn＝＋n－－， 99×2n1当n(n≥3)为奇数时，n－1为偶数， 6n＋726
Tn＝Tn－1＋an＝＋(n－1)－－＋2 99×2n26n＋735
＝＋n－－， 99×2n2经验证，n＝1也适合上式．
6n＋735
＋n－，n为奇数，??99×2
综上，得T＝?6n＋1326
＋n－，n为偶数.??99×2
n－2n
n－1
思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．
2?n＋1?an
跟踪演练1 (2017届广东省揭阳市模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝＋n＋1.
n
?an?
(1)求证：数列?n＋1?是等比数列；
?
?
(2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)证明 方法一 由已知得
an＋1an
＝2·＋1，
nn＋1
∴
an＋1an?
＋1＝2??n＋1?， n＋1
an
又a1＋1＝2，an>0，∴＋1≠0，
nan＋1
＋1n＋1∴＝2，
an＋1n
?an?
∴数列?n＋1?是首项为2，公比为2的等比数列．
?
?
2?n＋1?an
方法二 由an＋1＝＋n＋1，
n得nan＋1＝2(n＋1)an＋n(n＋1)， 由a1>0及递推关系，可知an>0， an∴＋1≠0， n
an＋1
＋1n＋1nan＋1＋n?n＋1?∴＝
an?n＋1?an＋n?n＋1?＋1n2?n＋1?an＋2n?n＋1?＝＝2， ?n＋1?an＋n?n＋1?a1又∵a1＝1，∴＋1＝2，
1
?an?
∴数列?n＋1?是首项为2，公比为2的等比数列．
?
?
an－
(2)解 由(1)得＋1＝2·2n1＝2n，
n∴an＝n·2n－n，
Sn＝2＋2×22＋3×23＋?＋(n－1)2n1＋n×2n－[1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n]，
－
设Tn＝2＋2×22＋3×23＋?＋(n－1)2n1＋n×2n，
－
＋
①
则2Tn＝22＋2×23＋3×24＋?＋(n－1)2n＋n×2n1， ② 由①－②，得
－Tn＝2＋22＋23＋?＋2n－n·2n1
＋
2?1－2n?＋＋＝－n·2n1＝－(n－1)2n1－2，
1－2∴Tn＝(n－1)2n1＋2，
＋
n?1＋n?
又1＋2＋3＋?＋(n－1)＋n＝，
2n?n＋1?＋
∴Sn＝(n－1)2n1－＋2.
2
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