第五章 平面向量、复数
知识点 平面向量的几何 意义及基本概念 向量的线性运算 最新考纲 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义. 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解平面向量的基本 定理及坐标表示 决简单问题． 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义． 平面向量的数量 积及向量的应用 掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系． 会用坐标表示平面向量的平行与垂直． 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念． 复 数 了解复数的加、减运算的几何意义． 理解复数代数形式的四则运算. 第1讲 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 1
交换律：a＋b＝b＋加法 求两个向量和的运算 a； 结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 续 表 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) |λ a|＝|λ||a|，当运算律 λ>0时，λa与a的数乘 求实数λ与向量a的积的运算 方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ__a； λ(a＋b)＝λa＋λb λ a＝0 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． [说明] 三点共线的等价关系
A，P，B三点共线?AP＝λAB(λ≠0)?OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B→→→
的任一点，t∈R)?OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) →→→→
(2)AB＋BC＋CD＝AD.( )
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
→→
(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( ) (5)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]
2
→→→→→
→→→→
(必修4P108B组T5改编)在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为________．
→→→→→→→→
解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形 [易错纠偏]
(1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量线性运算不熟致错； (3)向量三角不等式认识不清致错．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
12→→→2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，
23
λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．
1→2→12→→→1→2→1→2→→
解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝.
2323636312
答案：－
63
3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．
解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．
答案：[2，6]
平面向量的有关概念
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
→→
③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形；
3
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命题的序号是________．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反． →→→→→→
③是正确的，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】 ③
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
|a||a|
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中正确命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
aa解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
平面向量的线性运算(高频考点)
平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
4
(1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．
角度一 用已知向量表示未知向量
如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠
→
近B点的三等分点，那么EF等于( )
1→1→A.AB－AD 231→1→B.AB＋AD 421→1→C.AB＋DA 321→2→D.AB－AD 23
→→→【解析】 在△CEF中，有EF＝EC＋CF. →1→
因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.
2因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点， →2→所以CF＝CB.
3
→1→2→1→2→所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA
23231→2→
＝AB－AD，故选D. 23【答案】 D 角度二 求参数的值
如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC→→→
于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________．
【解析】 因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1. 因为点M为AH的中点， →1→1→→
所以AM＝AH＝(AB＋BH)
221?→1→?1→1→
＝?AB＋BC?＝AB＋BC，
3?22?6→→→
又AM＝λAB＋μBC， 11
所以λ＝，μ＝，
26
5
2
所以λ＋μ＝.
32
【答案】 3
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，
Nn－1分别将线段BC和DC进行n等分(n∈N*，n≥2)，如图，若AM1＋AM2＋…＋AMn－1＋AN1＋AN2
→
＋…＋ANn－1＝45AC，则n＝( )
→→→→
A．29 C．31
B．30 D．32
→→1→→→2→→n－1→
解析：选C.由题图知，因为AM1＝AB＋BC，AM2＝AB＋BC，…，AMn－1＝AB＋BC，
nnn→→1→→→2→→n－1→→→→→AN1＝AD＋DC，AN2＝AD＋DC，…，ANn－1＝AD＋DC.AB＝DC，AD＝BC.
nnn12n－1?→→→→?所以AM1＋AM2＋…＋AMn－1＋AN1＋AN2＋…＋ANn－1＝?n－1＋＋＋…＋?·
?
nnn?
→→3（n－1）→
(AD＋AB)＝AC，
2
3（n－1）所以＝45，解得n＝31.故选C.
2
2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，→→→→→→
6)取遍±1时，|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．
解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所→→→→→→
以λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－
6
??λ1－λ3＋λ5－λ6＝0
λ4＋λ5＋λ6)，所以当?时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－
?λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0?
→→→→→→
1，λ4＝1，此时|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最小值0；取λ1＝1，λ3
→→→→→→
＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|
2
2
取得最大值2＋4＝25.
答案：0 25
平面向量共线定理的应用
设两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
【解】 (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→→→→
所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线， 又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0.所以k－1＝0.所以k＝±1.
2
1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是( )
A．λ＝0 C．λ＝－2
B．λ＝－1 1
D．λ＝－ 2
解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，
7
111
因为a，b共线?b＝a?b＝e1－e2?λ＝－.
222
2.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为
AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
→→→
(1)试用a，b表示BC，AD，BE； (2)证明：B，E，F三点共线． →→
解：(1)△ABC中，AB＝a，AC＝b， →→→
所以BC＝AC－AB＝b－a， →→
→→
AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b， BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
1→
(2)证明：BE＝－a＋b，
3
→→
→1→
3
13
→→→
1→4143414
→
BF＝BA＋AF＝－AB＋AD
1?2?31?111?
＝－a＋?a＋b?＝－a＋b＝?－a＋b?，
3?3?44?262?→1→
所以BF＝BE，
2
→→
所以BF与BE共线，且有公共点B， 所以B，E，F三点共线．
核心素养系列10 数学运算——共线定理的推广与应用
→→→→→
[共线定理] 已知PA，PB为平面内两个不共线的向量，设PC＝xPA＋yPB，则A，B，C→→
→2→
3
三点共线的充要条件为x＋y＝1.
→
[推广形式] 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设PC＝
xPA＋yPB(x，y∈R)．
当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以→→→
由三点共线结论可知，若PF＝λPA＋μPB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相→→→→→→
似，知必存在一个常数m∈R，使得PC＝m PF，则PC＝mPF＝mλPA＋mμPB.
→→→
又PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.
→→
8
以上过程可逆．
→→→
因此得到结论：PC＝xPA＋yPB， 则x＋y＝m(定值)，反之亦成立． (应用实例)
如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，
→→→
设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
【解析】 当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈?
?AN，AD?＝[3，4]．
??AMAM?
【答案】 [3，4]
如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与
BA的延长线交于圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围
是________．
→→→→→→→
【解析】 由点D是圆O外的一点，可设BD＝λBA(λ＞1)，则OD＝OB＋BD＝OB＋λBA＝
→→→
λOA＋(1－λ)OB.因为C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ＞1)，所以OC＝
λ→1－λ→λ1－λ→→→－OA－·OB(λ＞1，μ＞1)．因为OC＝mOA＋nOB，所以m＝－，n＝－，μμμμλ1－λ1则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
μμμ【答案】 (－1，0)
π
如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若
3
→
→→→→→
OC＝xOA＋yOB，则x＋3y的取值范围是________．
→?→?→→→OBOB【解析】 OC＝xOA＋3y??，如图，作OB′＝，则考虑以向量3?3?
→→
→
OA，OB′为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3
的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．
→
9
【答案】 [1，3]
[基础题组练]
→
1．下列各式中不能化简为PQ的是( ) →→→
A.AB＋(PA＋BQ) →→→C.QC－QP＋CQ
→→→→B．(AB＋PC)＋(BA－QC) →→→D.PA＋AB－BQ
→→→→→→→→→→→→→→→
解析：选D.AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)→→→→→→→→→→→＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ；QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ；
→
PA＋AB－BQ＝PB－BQ，
→→→显然由PB－BQ得不出PQ， →
所以不能化简为PQ的式子是D.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a|
B．a与λa的方向相同 D．|－λa|≥|λ|a
2
→→→→
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
3．(2020·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，→→→→→→
|AB|＝6，|CA＋CB|＝|CA－CB|，则|CM|＝( )
A．12 C．3
B．6 3D. 2
→→→→→→→→
解析：选C.因为|CA＋CB|＝2|CM|，|CA－CB|＝|BA|，所以2|CM|＝|BA|＝6， →
所以|CM|＝3，故选C.
4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( )
10
A．|a|＋|b|≥|a－b| B．|a·b|≤|a|·|b| C．(a－b)＝a－2a·b＋b
D．(a－b)＝a－3a·b＋3a·b－b
解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；
因为|a·b|＝|a||b||cos
3
3
2
2
3
2
2
2
a，b|，又|cos a，b|≤1，
所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；
由向量数量积的运算，得(a－b)＝a－2a·b＋b，C正确；根据排除法，故选D. 5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
2
2
解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线， 即a＝λb，且λ＞0，故q ?/ p. 所以p是q的充分不必要条件，故选A.
6．(2020·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段
AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0，1) C．(1，2 ]
B．(1，＋∞) D．(0，2 )
→→→
→→→→
解析：选B.由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所1
以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．
k→→→→
7．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．
→→→→→→→→→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
答案：b－a －a－b
→→→→
8．(2020·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG＝2GO，设CD∥AG，→1→→
若AD＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ的值为 ________．
5
11
→→→1→2→1→1→→→→→→
解析：因为BG＝2GO，所以AG＝AB＋AO＝AB＋AC，又CD∥AG，可设CD＝mAG，从而AD3333
m1m6→→→m→m→?m?→m→→1→→
＝AC＋CD＝AC＋AB＋AC＝?1＋?AC＋AB.因为AD＝AB＋λAC，所以＝，λ＝1＋＝.
33353535?3?
6
答案：
5
→→→
9．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．
→→→→→→→→→
解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5→→→→
＝13；当AB，AC不共线时，3＜|BC|＜13.综上可知3≤|BC|≤13.
答案：[3，13]
→→→
10．(2020·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5AP－2AB－AC＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．
→→→
解析：因为5AP－2AB－AC＝0， →2→1→所以AP＝AB＋AC，
55
5→2→1→→
延长AP交BC于D，则AP＝AB＋AC＝AD，
3332
从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝CB，
3
232
设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为×d＝d，
3552
所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.
52答案：
5
11.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，→→→→
且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
→1→→11解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222→
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)
→→→
2→
3→1→→
3
12
2→1→→1→1→11＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b. 333333
→→→→
12．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n11
∈R，求＋的值．
nm→→→1→→→→→→1
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)
33
?1?1
－ma＝?－m?a＋b.
?3?3
→→
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，
?1?1
即nb－ma＝λ?－m?a＋λb，
?3?3
??从而?1
n＝λ，??3
?1?－m＝λ?－m?，
?3?
11
消去λ，得＋＝3.
nm[综合题组练]
→→
1．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是( ) 1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
→|CP|2→→
解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的
→1|PA|
S△PAB|PA|1
高相等，所以＝＝. S△PBC→2
|CP|
2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线→→→
段DE上，若AP＝xAB＋yAC，则xy的取值范围是( )
14??A.?，? ?99?
11??B.?，? ?94?
→
?21?C.?，? ?92??21?D.?，? ?94?
1?→→?2
解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使PB＝λBC?－≤λ≤－?，
3??3
13
??y＝－λ1→→→→→→→
所以AB－AP＝λ(AC－AB)，所以AP＝－λAC＋(λ＋1)AB，则?，所以x＋y＝1且≤
3?x＝λ＋1?
1?212111?x≤，于是xy＝x(1－x)＝－?x－?＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝
3243?2?422?21?时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为?，?，故选D. 39?94?
3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的→→→→
直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝________．
|BG||BM|
解析：作BG∥AC，则BG∥NC，＝.
|AN||AM|因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB， 所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|， |BG|
所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以＝n－1.
|AN|因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， |BM|所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.
|AM|答案：2
4.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足2＋2＝1，若AC＝xAM＋yAN，
CMCN则x＋y的最小值为________．
解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN＝CM＋CN，所以1
2
2
2
11
→→→
MN2
＝2＋2＝2， CMCNCM·CN2
1
1
即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的
y→?→→→?x→AM＋AN， 圆的一条切线．因为AC＝xAM＋yAN＝(x＋y)·?x＋y??x＋y?
→→
所以由共线定理知，AC＝(x＋y)AG，
14
→|AC|5
所以x＋y＝＝，
→→|AG||AG|→
又因为|AG|max＝5－1＝4， 5
所以x＋y的最小值为.
45答案：
4
→→
5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，BC＝
b，AB＝2DC.
→→
→
(1)用a，b表示AM； (2)证明A，M，C三点共线．
→→→→?1?1
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋?－a?＝a＋b，
?2?2又E为AD中点， 1→1→1
所以AE＝AD＝a＋b，
242
→→
因为EF是梯形的中位线，且AB＝2DC， →1→→1?1?3所以EF＝(AB＋DC)＝?a＋a?＝a，
2?422?→1→1
又M，N是EF的三等分点，所以EM＝EF＝a，
34→→→11111
所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a＝a＋b.
42422→2→1
(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，
32→→→11→
所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，
22
→→
又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．
→→→
6．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
→→→→→→
证明：充分性：若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，
15
所以→OP－→OB＝m(→OA－→OB)， 即→BP＝mBA→， 所以→BP与→
BA共线．
又因为→BP与→
BA有公共点B，则A，P，B三点共线． 必要性：若A，P，B三点共线， 则存在实数λ，使→BP＝λ→
BA， 所以→OP－→OB＝λ(→OA－→
OB)． 又→OP＝mOA→＋nOB→.
故有mOA→＋(n－1)→OB＝λ→OA－λ→OB， 即(m－λ)→OA＋(n＋λ－1)→
OB＝0.
因为O，A，B不共线，所以→OA，→
OB不共线，
所以???m－λ＝0，?所以m＋n?
n＋λ－1＝0.＝1.
所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
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