3.1.2 空间向量的基本定理
课堂导学
三点剖析
一、三点共线的判定
【例1】 已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,AP?tABαOA+βOB,求α+β的值. 思路分析:A、B、P三点共线,即满足AP=tAB,
因此有OP??OA?t(?OB??OA).OP?tOB?(1?t)?OA. 解：∵A,B,P三点共线,
∴存在实数t,使OP?(1?t)OA?tOB). 又∵OP??OA??OB),∴α=1-t,β=t. ∴α+β=1-t+t=1. 温馨提示
点P,A,B共线的充要条件可写成OP?OA?tOB)的形式,或写成
OP?tOA?(1?t)OB)的形式.
二、四点共面问题
【例2】O为空间任一点,A,B,C,D四点共面,若OA?xOB?yOC?zOD),确定x,y,z的关系.
解析:∵A,B,C,D四点共面,
∴存在实数a,b使AB?aAC?bAD 即OA?OB?a(OC?OA)?b(OD?OA).
于是OA?所以x=
OBab?OC?OD
1?a?b1?a?b1?a?b1,
1?a?bay=, 1?a?bbz= 1?a?b因此x+y+z=1. 温馨提示
四点A,B,C,D共面的充要条件是对空间任一点O,有OA?xOB?yOC?zOC,且x+y+z=1.
三、空间向量基本定理的应用
【例3】 如下图,已知
ABCD,从平面AC外一点O引向量
OE?kOA,OF?kOB,OG?kOC,OH?kOD,求证:
(1)四点E,F,G,H共面; (2)平面AC∥平面EG.
思路分析:
本题考查利用空间向量基本定理证四点共面及用共线向量定理证线线平行. 证明:（1）因为四边形ABCD是平行四边形,所以
AC?AB?AD
EG?OG?OE?kOC?kOA?kAC
=k(AB?AD?k(OB?OA?OD?kOA) =OF?OE?OH?OE?EF?EH 所以E,F,G,H共面.
(2)EF?OF?OE?k(OB?OA)?kAB,且由第(1)小题证明中知EG?kAC,于是EF∥AB,EG∥AC.
所以平面EG∥平面AC.
各个击破
类题演练 1
1OC?xOA?OB,则x的值为多少? 已知A,B,C三点共线,O为空间任意一点,若
6解析：∵A、B、C三点共线, ∴OC=tOA+(1-t)OB.
?t?x,?∴?1
1?t?,?6?解得：x=
5. 6变式提升 1
21 已知向量OM?OA?OB,若点A的坐标为(1,2),B点坐标(3,4),求直线MA
33的斜率. 解析：∵OM=
21OA+OB, 33则M、A、B三点共线,∴kMA=kAB ∵kAB=
4?2=1. 3?1∴kMA=1.
∴直线MA的斜率为1. 类题演练2
已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外一点,则在下列各条件中,能得到点M与A,B,C一定共面的是（ ）
111OA+OB+OC 22211B.OM=OA-OB+OC
33A.OM=
C.OM=OA+OB+OC D.OM=2OA-OB-OC 答案：B
变式提升 2
若M,P,Q,L四点共面,又OM=xOP+(x+1)OQ?OL,求x的值. 解析:利用x+x+1+1=1,得x=-类题演练3
已知非零向量e1、e2不共线，如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证：A、B、C、D共面.
证明：令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0, 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. ∵e1、e2不共线,∴?1. 2???2??3v?0,
???8??3v?0.????5,?易知???1,是其中一组解.
?v?1?则-5AB+AC+AD=0, ∴A、B、C、D共面.
变式提升 3
已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如右图)，并且
OE?kOA,OF?kOB,OHkOD,OH?kOD,AC?AD?mAB,EG?EH?mEF.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)AC∥EG； (3)OG`=kOC.
证明:(1)由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵EG=EH+mEF=OH?OE+m(OF?OE)=k(OD?OA)+km(OB?OA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,∴AC∥EG.
(3)由(2)知OG=EG?EO=kAC?kAO=k(AC?AO)=kOC. ∴OG?kOC.
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