2019 年河南省普通高中招生考试数学试题
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1
1. ? 的绝对值是（ ） 2
11C．2 D． ?2 B. A. ?
2 2
2. 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克，数据“0.0000046”用科学记数法表示
为（ ）
A． 46?10?7
?7
?6
B． 4.6?10 C． 4.6?10 D． 0.46?10?5 3．如图， AB∥CD ，∠B ? 75?，∠E ? 27? ，则∠D 的度数为（ ）
A． 45? B． 48??C． 50? D． 58??4. 下列计算正确的是（ ） A． 2a ? 3a ? 6a
2
C． ? x ? y?? x2 ? y2
E
D
C
2
2
5.
B．??3a?? 6a D．3 2 ? ? 2
2 2
如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②． 关
下列说法正确的是（
）
B A
于平移前后几何体的三视图， A．主视图相同
B．左视图相同C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
正面
图①
图②
一元二次方程?x ?1??x ?1? ? 2x ? 3 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
6.
C．只有一个实数根 D．没有实数根 7. 某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ A．1.95 元
B．2.15 元
C．2.25 元
）
D．2.75 元
A
10％
B 15％
D 20％
C 55％
y ? ?x2 ? bx ? 4 经过??2 ，n?和?4 ，n? 两点，则 已知抛物线 n 的值为（ ）
C．2 D．4 A. ?2 B. ?4
9. 如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ，∠D ? 90? ， AD ? 4 ， BC ? 3，分别以点 A，C
1
为圆心，大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 2 点 O．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ）
8.
A． 2
2
B．4 C．3
D． 10
E F O A D
B C
0?，A ??3 ，4? ，B ?3 ，4? ．将△OAB 与正方形 ABCD 如图，在△OAB 中，顶点 O ?0 ，组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90? ，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为 （ ）
10.
3??A． ?10 ，?
10??B． ??3 ，C． ?10 ，? 3??D． ?3 ，?10??
D y
C B x
A
O
二、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11.计算： 4 ? 2?1 ???．
12. 不等式组? 2 ???x ? 7 ? 4
的解集是
?x ? ?1
?
．
13. 现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是
．
14.
如图，在扇形 AOB 中， ?AOB ?120? ，半径OC 交弦 AB 于点 D ，且OC ? OA．若
，则阴影部分的面积为 3
C ．
OA ? 2
A D B
O
15.
如图，在矩形 ABCD 中，AB ? 1，BC ? a ，点 E 在边 BC 上，且 BE ? 3 a ．连接 AE ，
5
将△ABE 沿着 AE 折叠，若点 B 的对应点 B ' 落在矩形 ABCD 的边上，则a 的值为 ．
A
D
B'
B
三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）
2 ?1 ?1 x? 2x ，其中 x ??3 ． 2 16．（8 分）先化简，再求值： xx ? 2 ??x? 4x ? 4
E
C
? ?
17．（9 分）如图，在△ABC 中， BA ? BC ， ?ABC ? 90?，以 AB 为直径的半圆O 交 AC 于点 D ，点 E 是弧 BD 上不与点 B 、D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接BE 并延长交 AC 于点 G．
求证： △ADF≌△BDG ； 填空：
①若 AB ? 4 ，且点 E 是弧 BD 的中点，则 DF 的长为 ； ②取弧 AE 的中点 H，当?EAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形．
（1） （2）
C G D E F A O B
18．（9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年 级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息
如下：
a.
七年级成绩频数分布直方图：
频数 15
15 11 8 6
11 10 8 6
10
0
50 60 70 80 90 100 成绩/分
b.
70
c.
七年级成绩在70 ? x ? 80 这一组的是：
72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数 七 八 76.9 79.2 m 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1） 在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 人； （2） 表中 m 的值为 ； （3） 在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均 数 76.9 分的人数．
19．（9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所
（4）
示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为34? ， 再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为60? ，求炎帝塑像 DE 的高度．（精确到 1m．参考数据：sin 34?? 0.56 ，cos34?? 0.83 ，tan 34?? 0.67 ， 3 ? 1.73）
D E
60° 34°C B
A
20．（9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元． （1） 求 A，B 两种奖品的单价； （2） 学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 奖品数量的1 ．请
B 3
设计出最省钱的方案，并说明理由．
21．（10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1） 建立函数模型
4
设矩形相邻两边的长分别为 x，y．由矩形的面积为 4，得 xy ? 4 ，即 y ? ；由周长为
x
m，得
即2? x ? y? ? m ， y ? ?x ? m ．满足要求的? x ，y? 应是两个函数图象在第
2 象限内交点的坐标． （2） 画出函数图象
4 m
函数 y ? ? x ? 0?的图象如图所示，而函数 y ? ?x ? 的图象可由直线 y ? ?x 平移得 x 2 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 y ? ?x ．
y 9 4 8 y 0) = (x> x7 6 5 4 3 2 1 –4 – 3 – 2 – 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x –1 –2 –3 –4 （3） 平移直线 y ? ?x ，观察函数图象 ①当直线平移到与函数 y ? x
4
2? 时，周长 m 的值为 ? x ? 0?的图象有唯一交点?2 ，；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围．
（4） 得出结论
若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 ．
22．（10 分）在△ABC 中，CA ? CB ，?ACB ? ? ．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转? 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP．
（1） 观察猜想
BD
如图 1，当? ? 60? 时， 的值是
CP
，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角
的度数是
（2） 类比探究
．
BD
的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数，
如图 2，当
? ? 90? 时，请写出
CP
并就图 2 的情形说明理由． （3） 解决问题
当? ? 90? 时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点
AD
C，P，D 在同一直线上时 的值． CP
C P
B
P
A 图 2
B C
E B 备用图
C F A
A D 图 1
D
1 1
23．（11 分）如图，抛物线 y ? ax2 ? x ? c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线 y ? ? x ? 2 2 2 经过点 A，C． （1） 求抛物线的解析式．
（2） 点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐
标为 m．
①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；
②作点 B 关于点 C 的对称点 B?，则平面内存在直线 l，使点 M，B， B?到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l： y ? kx ? b 的解析式．（k，b 可用含 m 的式子表示）
y y A M O P C B x A O C B x
备用图
一、选择题?
2019 年河南省普通高中招生考试数学
2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 9 B 参考答案
9 10 A D 题号 答案 1 B
11．
3
13．
4
15． 5 或 5 3 3
三、解答题?
16. 解：原式= x ?1? x ? 2 x(x ? 2)
x ? 2 ? (x ? 2)2? 3
x ? 2 (x ? 2)2 ?3 x(x ? 2) x
当 x ??3 时，原式= 3 = 3
3
17．（1）证明： AB 是 O 的直径 ??ADB ? 90??
??ADB ? ?BDG ? 90??
?
BA ? BC
?点 D 是 AC 的中点
二、填空题?2
12． x ? ?2
9
14． 3 ? ??
?ABC ? 90??? AD ? BD
? ?DBG 又 ?DAF
?△ADF≌△BDG （ASA） （2） 4 ? 2
2 （3） 30
18．（1）23 （2）77.5
（3）学生甲的成绩排名更靠前，理由如下：
学生甲的成绩大于七年级成绩的中位数，学生乙的成绩小于八年级成绩的中位数 ?学生甲的成绩排名更靠前
5+15+8
（4） 400? =224 （人） 50
答：七年级成绩超过平均数 76.9 分的有 224 人．
19．解: 由题意可得 AB ? 21m ，EC ? 55m ，?EAC ? 34?， ?DBC ? 60??设炎帝塑像 DE 的高度是 x m，则 DC ? (x ? 55)m D
在Rt△ACE 中， tan ?EAC ? EC ? 55
AC AC
E
55 ? 82.09 ? AC= m
tan ?EAC
?BC ? AC ? AB=61.09m C A B 60° 34° 在Rt△BCD 中， tan ?CBD ? CD
BC
?CD ? BC ? tan?CBD ? 61.09 tan 60? ?105.69m
即 x ? 5 ?105.69 所以 x ? 51
答：设炎帝塑像 DE 的高度为 51m．
20．（1）解：设 A 种奖品的单价为 x 元，B 种奖品的单价为 y 元
??
解得： ?
y ? 15 ??
答：设 A 种奖品的单价为 30 元，B 种奖品的单价为 15 元． （2）设 A 种奖品为 a 个，B 种奖品为(30 ? a) 个，总费用为 W
?3x ? 2 y ? 120 ?5x ? 4 y ? 210
?x ? 30
1?
?a ? （30 ? a）
3 解得： 7.5 ? a ? 30 ?
??30 ? a ? 0
所以总费用W =30a ?15(30 ? a) ?15a ? 450
15 ? 0
? W 随a 的增大而增大又 a 为正整数
?当a ? 8 时，W 最小
此时 B 为30 ?8 ? 22 （个）
答：最省钱的购买方案为：A 种奖品 8 个，B 种奖品 22 个． 21．（1）一 （2）
y 9 4 8 y= (x>0) x 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y= x （3）①8 ②0 个交点时， 0 ? m ? 8 ；2 个交点的时， m ? 8 （4） m ? 8
22．解：（1）1； 60??
BD ? （2） CP
2
，直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45??
理由如下：假设 BD 与 CP 相交于点 M，AC 与 BD 交于点 N，
C
D M
N
A
B
P
由题意可知， △PAD 是等腰直角三角形
PA ? 2
??DAP ? 45? ， AD 2 CA ? CB ， ?ACB ? ? ? 90??? △ACB 是等腰直角三角形
AC ?
??CAB ? 45? ， AB
2 2
?CAP ? ?PAD ??CAD ? 45? ??CAD ， ?BAD ? ?BAC ??CAD ? 45? ??CAD ??PAC ? ?DAB
又 PA ? AC ? 2 AD AB 2 ?△APC∽△ADB
?PCA ? ?ABD ? BD ? AB ??2 ， CP AC
?ANB ? ?DNC
??CMN ? ?CAB ? 45??
即直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45? ．
BD ? 综上所述， BD 与 CP 相交所成的角度是45? ． 2 ，直线
CP
（3） 2 ? 2 或2 ??2
23．解：（1）由直线 y ? ? 1 x ? 2 ，可得 A（ ?4 ，0），C（0， ?2 ） 2
二次函数经过 A、C 两点， ?16a ? 2 ? c ? 0 ? ???
c ? ?2 ?
1?
?a ?
4 解得： ?
??c ? ?2
? 抛物线的解析式为 y ? 1 x2 ? 1 x ? 2 4 2
（2）① 由题意可知，M 点处不可能是直角，所以分两种情况：
（ i ）若?MPC ? 90? 时，则有： 1 x2 ? 1 x ? 2 ? ?2
4 2
解得： x1 ? 0 （舍去）， x2 ? ?2
? 点 P 坐标为（ ?2 ， ?2 ） （ ii ）若?MCP ? 90? ，则有CP ? CM ?kCP ? 2
由点 C（0， ?2 ）可得直线 CP 的解析式： y ? 2x ? 2
?2x ? 2 ? 1 x2 ? 1 x ? 2 4 2
解得： x1 ? 0 （舍去）， x2 ? 6 ? x ? 6 时， y ? 2x ? 2 ? 10 ? 点 P 坐标为（6，10）
综上所述，点 P 坐标为（6，10）或（ ?2 ， ?2 ）．
② y ? x ? 3 m ? 2 或 y ? ?m ? 4 x ? 2 或 y ? ?m ? 4 x ? 2 ．
4
2m ? 4 2m ? 4
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