。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第1讲 三角函数的化简与求值
1. 三角函数公式(和、差角及倍角公式)及应用是高考必考的内容；考查时要求能正确运用三角函数公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．
2. 高考对三角函数的化简与求值，可以为填空题，也可以为解答题，灵活运用公式转化是考查的重点．
1
1. (2018·福州模拟)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，
5
则tan α＝________．
4
答案：－
3
11x解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，即x＜0.又cos α＝x＝2.
55x＋1644
解得x＝－3，所以tan α＝＝－. x3
2π
2. (2018·淮安期中) 已知sin α＝cos，0<α<π，则α的取值集合为________．
5
?π9π?
答案：?，?
?1010?
2ππ?π??π?解析：由sin α＝cos?－α?得cos?－α?＝cos .因为0＜α＜π，所以－＜52?2??2?
?π9π?πππ2ππ9π
－α＜，所以－α＝±，所以α＝或，所以α的取值集合为?，?. 22251010?1010?
sin θ＋cos θ
3. (2018·镇江期末)已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则＝
sin θ－cos θ
________．
答案：3＋22
2
6cosθ22
解析：(解法1)因为tan θ＝6cos θ，所以tanθ＝6cosθ＝＝22
sinθ＋cosθ
62222
，所以(tanθ)＋(tanθ)－6＝0，所以tanθ＝－3(舍去)或2.因为θ为锐角，2tanθ＋1
sin θ＋cos θtan θ＋1
所以tan θ＝2.因此＝＝3＋22.
sin θ－cos θtan θ－1
1
sin θ2
(解法2)因为tan θ＝＝6cos θ，所以sin θ＝6cosθ，
cos θ
112222
因此sinθ＋cosθ＝sinθ＋sin θ＝1，即sin θ＋sin θ－1＝0，
666
(负值舍去)，因此tan θ＝2.以下同解法1. 3
3ππ
4. (2018·海安质量测试)已知cos α＝，α∈(0，)，则sin(α＋)＝________．
523解得sin θ＝4＋33
答案： 10
34π?π?2解析：因为cos α＝，α∈?0，?，所以sin α＝1－cosα＝，则sin(α＋)
2?553?
134＋33＝sin α＋cos α＝. 2210
, 一) 给角求值
, 1) (2017·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正
310
半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，
1025
点B的纵坐标是. 5
(1) 求cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的大小．
310
解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是，点A在第一象限，
10310
所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝，
10从而sin α＝1－cosα＝
2
10. 10
25
因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，点B在第二象限，所以
525
sin β＝，
5
从而cos β＝－1－sinβ＝－2
5. 5
310510252
(1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝－. 10510510(2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝
105310252
×(－)＋×＝. 1051052
2
π3π
因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，
22
3π
所以α＋β＝. 4
1＋cos 20°1
求值：－sin 10°·( －tan 5°)．
2sin 20°tan 5°
2
2cos10°cos 5°sin 5°
解：原式＝－sin 10°· (－) 2×2sin 10°cos 10°sin 5°cos 5°
22
cos 10°cos5°－sin5°cos 10 °cos 10°＝－sin 10°·＝－sin 10 °·＝2sin 10°sin 5°cos 5°2sin 10°1
sin 10°2
cos 10 °cos 10°－2sin 20°cos 10°－2sin（30°－10°）
－2cos 10°＝＝＝
2sin 10°2sin 10°2sin 10°3?1?cos 10°－2?cos 10°－sin 10°?
23sin 10°3?2?
＝＝.
2sin 10°2sin 10°2
, 二) 给值求角 , 2) 已知tan α＝2，cos β＝－
(1) 求cos 2α的值；
(2) 求2α－β的值． 解：(1) 因为tan α＝2，
sin α所以＝2，即sin α＝2cos α.
cos α
12222
又sinα＋cosα＝1，所以5cosα＝1，即cosα＝，
5
32
所以cos 2α＝2cosα－1＝－.
5
ππ
(2) 由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(，)，
42
π
所以2α∈(，π)．
2
34
由(1)知cos 2α＝－，所以sin 2α＝.
5572
因为β∈(0，π)，cos β＝－∈(－1，0)，
10
π
所以β∈(，π)，
2所以sin β＝2ππ
，且2α－β∈(－，)． 1022
72
，且α，β∈(0，π)． 10
47232
因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×(－)－(－)×＝－5105102
， 2
π
所以2α－β＝－.
4
3
π11
已知<α<π，－π<β<0，tan α＝－，tan β＝－，则2α＋β＝________．
2377π答案： 4
1
2×（－）32tan α3
解析：tan 2α＝＝＝－， 2
1－tanα124
1－（－）3
tan 2α＋tan β
tan(2α＋β)＝ 1－tan 2αtan β31－－47
＝＝－1.
31
1－（－）×（－）
47π1
因为＜α＜π，－1＜tan α＝－＜0，
233π3π
所以＜α＜π，＜2α＜2π ①.
42
1
又－π＜β＜0，tan β＝－＜0，
7
π
所以－＜β＜0 ②.
2
由①②知，π<2α＋β<2π.
7π
又tan(2α＋β)＝－1，所以2α＋β＝. 4
, 三) 给值求值 , 3) 已知α∈(，π)，且sin ＋cos ＝
(1) 求cos α的值；
3π
(2) 若sin(α－β)＝－，β∈(，π)，求cos β的值．
52αα61
解：(1) 因为sin ＋cos＝，两边同时平方，得sin α＝.
2222π3
又＜α＜π，所以cos α＝－. 22
ππ
(2) 因为＜α＜π，＜β＜π，
22
πππ
所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜. 22234
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. 55
故cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－
34
×25
π2
α2
α2
6. 2
1?3?43＋3＋×?－?＝－. 2?5?10
方法归纳：① 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系；② 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；③ 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，
4
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