解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
22
∴所求圆的方程为x＋y－11x＋3y－30＝0.
方法二 设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．
6＋4
又kAB＝＝1，
8＋2
∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)， 即x＋y－4＝0.②
11x＝，??2
由①②联立后，解得?3
y＝－??2.∴所求圆的半径r＝
3??11
即圆心坐标为?，－?.
2??2
125. 2
?11－8?2＋?－3－6?2＝?2??2??????11?2?3?2125
∴所求圆的方程为?x－?＋?y＋?＝.
2??2?2?
变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(x－a)＋(y－
22
b)＝4，又∵OQ＝6，
222
?0－a＋0－b＝6
∴联立方程?2
3－b＝16?－1－a2＋
2
，
解得a＝－3，b＝33， 22
所以所求圆的方程为(x＋3)＋(y－33)＝16. (2)
如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心
15
(0,0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝22＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.
3＋4
22
所以所求圆的方程为x＋y＝36.
13
例
2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．
(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值． 解 方法一 将x＝3－2y，
22
代入方程x＋y＋x－6y＋m＝0，
2
得5y－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：
12＋m
y1＋y2＝4，y1y2＝. 5
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2. ∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，
12＋m
∴9－6×4＋5×＝0，
5
5?1?∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为?－，3?，半径r＝. 2?2?
方法二
14
如图所示，
设弦PQ中点为M， ∵O1M⊥PQ， ∴kO1M＝2.
?1?又圆心坐标为?－，3?， ?2?
?1?∴O1M的方程为y－3＝2?x＋?，即y＝2x＋4. ?2?
?y＝2x＋4，?
由方程组?解得M的坐标为(－1,2)．
??x＋2y－3＝0，
222
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)＋(y－2)＝r. ∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
222222
∴(0＋1)＋(0－2)＝r，即r＝5，MQ＝r.
222
在Rt△O1MQ中，O1M＋MQ＝O1Q.
2
1?21＋－6－4m?2
∴?－＋1?＋(3－2)＋5＝.
4?2?
5?1?∴m＝3.∴半径为，圆心为?－，3?. 2?2?
变式迁移2 解 (1)∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，
22
则圆M的方程为(x－3)＋(y－1)＝1.
15
设圆N的半径为r， 连接MA，NC，OM，
则MA⊥x轴，NC⊥x轴，
由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上， ∴O，M，N三点共线．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，
21
|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即＝?r＝3，
3＋rr
则OC＝33，则圆N的方程为(x－33)＋(y－3)＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，
3
此弦的方程是y＝(x－3)，即x－3y－3＝0，
3圆心N到该直线的距离d＝则弦长为2r－d＝33.
2
2
2
2
3， 2
例
16
相关推荐：
loading