3 解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
y－b
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax
x－a
22
＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
解 (1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵
|2－0＋b|
截距b取得最大值或最小值，此时＝3，解得b＝－2±6.
2所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
22
(2)x＋y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
22
又圆心到原点的距离为2－0＋0－0＝2，
222
所以x＋y的最大值是(2＋3)＝7＋43， 222
x＋y的最小值是(2－3)＝7－43. 变式迁移3 解 设P(x，y)，
22
则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)＋(y－3)＝6. y
而的几何意义就是直线OP的斜率， xy
设＝k，则直线OP的方程为y＝kx. x
当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
|3k－3|
因为点C到直线y＝kx的距离d＝2，
k＋1
|3k－3|所以当＝6， 2
k＋1即k＝3±22时，直线OP与圆相切． y
即的最大值为3＋22，最小值为3－22. x
课后练习区
22
1．B [圆的方程化为标准形式为(x－1)＋(y－3)＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故EF＝5，∴BD＝210－
5
2
＝25，
17
1
∴S四边形ABCD＝AC·BD＝102.]
2
2．D 3.A 4.B 5.A
2222
6．(x＋1)＋y＝2 7.(x－2)＋(y－1)＝2 8.0 9．解 (1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0， ???3x＋2y－15＝0，?x＝7，?由解得?(3分) ?3x＋10y＋9＝0，?y＝－3.??
∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，
22
故所求圆的方程为(x－7)＋(y＋3)＝65.(6分)
22
(2)设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得? ①?2D－4E－F＝20，? ?3D－E＋F＝－10. ②?
(8分)
2
又令y＝0，得x＋Dx＋F＝0，③
2
由|x1－x2|＝6有D－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
2222
故所求圆的方程为x＋y－2x－4y－8＝0，或x＋y－6x－8y＝0.(12分)
10．解 (1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径， |2＋－3－t|即＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1，
2
所以x＋y的最大值为2－1， 最小值为－2－1.(4分) yy
(2)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆xx
有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k－－3|
＝1， 2
1＋k
2323
解得k＝－2＋或k＝－2－，
33y23
所以的最大值为－2＋，
x323最小值为－2－.(8分)
3
(3)x＋y＋2x－4y＋5，
22
即[x－－1]＋y－2，其最值可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．
22
又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x＋y＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.(12分)
22
11．解 建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，由
22
于圆心在y轴上，所以D＝0，那么方程即为x＋y＋Ey＋F＝0.(3分)
2
2
18
下面用待定系数法来确定E、F的值．
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，2
于是有方程组???4＋4E＋F＝0，
??
102
＋F＝0，
(7分)
解得F＝－100，E＝21.
∴这个圆的方程是x2＋y2
＋21y－100＝0.(10分) 把点P2的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，
得(－2)2＋y2＋21y－100＝0，y2
＋21y－96＝0. ∵P2的纵坐标y>0，故应取正值，
∴y＝－21＋212＋4×962
≈3.86(米)．
所以支柱A2P2的高度约为3.86米．(14分)
19
相关推荐：
loading