2019电大高等数学基础形成性考核手册答案（含题目）

高等数学基础形考作业1答案：

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等． A. f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

C. f(x)?lnx3，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?x2?1x?1

⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. y?ln(1?x2) B. y?xcosx

C. y?ax?a?x2 D. y?ln(1?x) ⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. y?x?1 B. y??x

C. y?x2 D. y????1,x?0?1,x?0

⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

A. limx2x??x2?2?1 B. limx?0ln(1?x)?0 C. limsinxx??x?0 D. lim1x??xsinx?0

⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量．

A.

sinxx B. 1x

C. xsin1x D. ln(x?2)

⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A. limx?xf(x)?f(x0) B. f(x)在点x00的某个邻域内有定义

C. xlim?x?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x) 0x?x0x?x0

（二）填空题

2⒈函数f(x)?x?9x?3?ln(1?x)的定义域是?3,???．

⒉已知函数f(x?1)?x2?x，则f(x)? x2

-x ．

1⒊limx??(1?12x)x?e2． ?1⒋若函数f(x)???(1?x)x,x?0，在x?0处连续，则k? e ．

??x?k,x?0⒌函数y???x?1,x?0sinx,x?0的间断点是x?0?．

⒍若limx?xf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为x?x0时的无穷小量。0（三）计算题

⒈设函数

f(x)???ex,x?0?x,x?0

1

求：f(?2),f(0),f(1)．

解：f??2???2，f?0??0，f?1??e1?e ⒉求函数y?lgsin3xsin3x?3xsin3x3133解：lim?lim3x?lim3x?＝??

x?0sin2xx?0sin2xx?0sin2x2122?2x2x2x2x?1的定义域． x?2x?1??x?0??2x?11?解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0

x2?x?0????x?0? 则定义域为?x|x?0或x?x2?1⒌求lim．

x??1sin(x?1)x2?1(x?1)(x?1)x?1?1?1?lim?lim???2 解：limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)1x?1tan3x．

x?0xtan3xsin3x1sin3x11?lim?lim??3?1??3?3 解：limx?0x?0xxcos3xx?03xcos3x1⒍求lim??1?? 2?⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D

A R O h E

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得

1?x2?1⒎求lim．

x?0sinx1?x2?1(1?x2?1)(1?x2?1)x2?lim?lim解：lim2x?0x?0x?0sinx(1?x?1)sinx(1?x2?1)sinx ?limx?0

x(1?x2?1)sinxx?0?0

?1?1??1⒏求lim(x??x?1x)． x?3AE?OA2?OE2?R2?h2

则上底＝2AE?2R2?h2 h2R?2R2?h2?hR?R2?h2 2sin3x⒋求lim．

x?0sin2x故S?

2

????111(1?)x[(1?)?x]?1x?1xe?1xxx?x解：lim()?lim()?lim?lim?3?e?4 xx??x?3x??x??x??33e11?(1?)x[(1?)3]3xxx31?x2?6x?8⒐求lim2．

x?4x?5x?4解：limx2?6x?8?x?4??x?2?4x?4?x?4??x?1??limx?2x?4x2?5x??limx?4x?1?4?24?1?23

⒑设函数

?(x?2)2,x?1f(x)???x,?1?x?1

??x?1,x??1讨论f(x)的连续性。

解：分别对分段点x??1,x?1处讨论连续性 （1）

xlim??1?f?x??xlim??1?x??1xlim??1?f?x??xlim??1??x?1???1?1?0

所以xlim??1?f?x??xlim??1?f?x?，即f?x?在x??1处不连续（2）

xlim?1?f?x??lim?x?2?2??1?2?2x?1??1xlim?1?f?x??xlim?1?x?1

f?1??1所以limx?1?f?x??limx?1?f?x??f?1?即f?x?在x?1处连续

由（1）（2）得f?x?在除点x??1外均连续

高等数学基础作业2答案：

第3章 导数与微分

（一）单项选择题

⒈设f(0)?0且极限limf(x)x?0x存在，则limf(x)x?0x?（C）． A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0cvx

⒉设f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?02h?（D）．

A. ?2f?(x0) B. f?(x0)

C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

⒊设f(x)?ex，则limf(1??x)?f(1)?x?0?x?（A）．

A. e B. 2e C. 12e D. 14e

⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）．

A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99!

⒌下列结论中正确的是（C）．

A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导．

C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续．

（二）填空题

? ⒈设函数f(x)???x2sin1,x?0，则f?(0)? ?x0 ． ?0,x?03

⒉设f(ex)?e2x?5ex，则df(lnx)2dx?lnxx?5x。

⒊曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是k?1

2

。

⒋曲线f(x)?sinx在(π2,1)处的切线方程是y?1。

⒌设y?x2x，则y??2x2x(1?lnx) ⒍设y?xlnx，则y???1x。 （三）计算题

⒈求下列函数的导数y?： ⑴y?(xx?3)ex

解:y???xx?3??ex??xx?3??ex??3 ?(x2?3)ex?31x2x2e⑵y?cotx?x2lnx 解：y???cotx????x2??lnx?x2?lnx????csc2x?x?2xlnx

x2⑶y?lnx

2?2?解：y???x?lnx?x?lnx?xlnx?xln2x?2ln2x

⑷y?cosx?2xx3 x解

：

y??cx?2x???x3??ocx?2??x3??os?x3?2

?x(?sinx?2xln2)?3(cosx?2x)x4 ?lnx?x2⑸ysinx

解

：

?sinx??lnx?x2??sx??sx(1?2x)?(x?x2)cxy???lnx?x2?s2x?xs2x

⑹y?x4?sinxlnx

解：y???x4????sinx??lnx?sinx?lnx???4x3?sinxx?cosxlnx sinx?x2⑺y?3x 解

：

y???sx?x2??3x??sx?x2??3x???3??3x(cosx?2x)?(sinx?x2)3xln3x232x ⑻y?extanx?lnx

解：y???ex??tanx?ex?tanx????lnx???extanx?ex1cos2x?x 4

i⒉求下列函数的导数y?： ⑴y?ex

解：y???ex????ex??1x?12?12xex2 ⑵y?lncosx 解：y??1??sinx???sinxcosxcos??tanx ⑶y?xxx

??7??1解：y????7?x8????8x8

⑷y?sin2x

解：y??2sinx?sinx???2sinx?cosx?2sin2x⑸y?sinx2

解：y??cosx2?2x?2xcosx

⑹

y?cosex2

解：

y???sinex2?ex2????2xex2sinex2

⑺y?sinnxcosnx 解

y???sinnx??cosnx?sinnx?cosnx???nsn?1xcxcnx?nsnxsnx) i⑻

y?5sinx

解：y??5sinxln5?cosx?ln5cosx5sinx

⑼y?ecosx

解：

y??ecosx??sinx???sinxecosx

⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?：

⑴ycosx?e2y

解：y?cosx?ysinx?2e2yy? y??ysinxcosx?2e2y

⑵y?cosylnx

解：y??siny.y?lnx?cosy.1x y??cosyx(1?sinylnx) ⑶2xsiny?x2y

解：2xcoy.ys??2siyn?2yx?x2y?y2 y?(2xcosy?x22yxy2)?y2?2siny

y??2xy?2ysiny2xy2cosy?x2 ⑷y?x?lny

5

：

解：y??y?yy?1 y??y?1 ⑸lnx?ey?y2 解：

1x?eyy??2yy? y??1x(2y?ey) ⑹y2?1?exsiny

解：2yy??excosy.y??siny.ex y??exsiny2y?excosy ⑺ey?ex?y3

解：eyy??ex?3y2y? y??ex2ey?3y

⑻y?5x?2y

解：y??5xln5?y?2yln2 y??5xln51?2yln2 ⒋求下列函数的微分dy：（注：dy?y?dx）

⑴y?cotx?cscx 解：y???csc2x?cscxcotx dy?(?1coscos2x?xsin2x)dx ⑵y?lnxsinx 1sinx?lnxcosx1解：y??xxsinx?lnxcosxsin2x dy?sin2xdx

⑶y?sin2x

解：y??2sinxcosx dy?2sinxcosxdx ⑹y?tanex

解：y??sec2ex?ex dy?sec2ex3?exdx?ex3sec2exdx

⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?x

解：y??1?11?1??31?32x2 y???2????22??x??4x2

⑵y?3x

解：y??3xln3 y???ln3?3x?ln3?ln23?3x

⑶y?lnx

解：y??1x y????1x2 ⑷y?xsinx

解：y??sinx?xcosx y???cosx?cosx?x??sinx??2cosx?xsinx（四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)

6