第3讲 机械能守恒定律及其应用
板块一 主干梳理·夯实基础
【知识点1】 重力做功与重力势能 Ⅱ 1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小，重力对物体做负功，重力势能就增大。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。 【知识点2】 弹性势能 Ⅰ 1．定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。 2．弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。 (2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。 【知识点3】 机械能守恒定律及其应用 Ⅱ
1．内容：在只有重力(或系统内弹力)做功的情况下，物体系统内的动能和重力势能(或弹性势能)发生相互转化，而机械能的总量保持不变。 2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。 (2)转化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。
(3)转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。
3．对机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。 (3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，机械能仍守恒。
板块二 考点细研·悟法培优
考点1机械能守恒的判断[深化理解]
关于机械能守恒的理解
(1)只受重力作用，系统的机械能守恒。
(2)除受重力(或弹力)之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
(3)除受重力(或弹力)之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机械能守恒。 例1 (多选)下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是( ) A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒 C．合外力对物体做的功为零时，机械能一定守恒 D．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
(1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？
提示：不一定，竖直面内的匀速直线运动机械能一定不守恒。 (2)机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或系统内弹簧弹力做功。 尝试解答 选BD。
做匀速直线运动的物体，除了重力或弹力做功外，可能还有其他力做功，所以机械能不一定守恒，选项A错误。做匀变速直线运动的物体，可能只受重力或只有重力做功(如自由落体运动)，物体机械能可能守恒，选项B正确。合外力对物体做功为零时，说明物体的动能不变，但势能有可能变化，选项C错误。D中的叙述符合机械能守恒的条件，选项D正确。 总结升华
机械能是否守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系机械能的总和是否变化。 (2)用做功判断：若物体系只有重力或系统内弹簧弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒。
[跟踪训练] [2016·合肥模拟](多选)如图所示，小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，下列说法正确的是( ) A．绳对小球的拉力不做功
B．小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能 C．小车和球组成的系统机械能守恒 D．小球减少的重力势能等于小球增加的动能 答案 BC
解析 由于导轨光滑，没有热量产生，所以小车和球组成的系统机械能守恒，小球减少的重力势能转化为小球和车的动能，故C正确，D错误。绳对小车拉力做正功，绳对小球拉力做负功，且小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能，故A错误，B正确。 考点2单个物体的机械能守恒[解题技巧]
应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。
(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
例2 [2017·河南百校质检](多选)如图甲所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度的二次方与其对应高度的关系图象。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为1.25 N，空气阻力不计，g取10 m/s，B点为AC轨道的中点，下列说法正确的是( )
2
A．小球质量为0.5 kg
B．小球在B点受到轨道作用力为4.25 N C．图乙中x＝25 m/s
D．小球在A点时重力的功率为5 W
(1)运动过程中小球机械能是否守恒？
提示：守恒，只有重力做功。 (2)最高点与最低点的v如何联系？ 提示：根据机械能守恒。 尝试解答 选BC。
由题图乙可知，小球在C点的速度大小为v＝3 m/s，轨道半径R＝0.4 m，因小球所受重力与弹力的合力提供
2
2
2
mv2
向心力，所以小球在C点有mg＋F＝，代入数据得m＝0.1 kg，A错误；小球从B点到C点的过程，由机械
R1212mvB222
能守恒可知mv＋mgR＝mvB，解得vB＝17 m/s，因在B点是弹力提供向心力，所以有FB＝，解得F＝4.25
22R1212
N，B正确；小球从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可得mv＋2mgR＝mv0，解得小球在A点的速度v0
22＝5 m/s，所以题图乙中x＝25 m/s，C正确；因小球在A点时所受重力与速度方向垂直，所以重力的功率为0，D错误。 总结升华
机械能守恒定律的应用技巧
(1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的。因此，应用时首先要注意弄清物体的运
2
2
2
动过程，物体都做了哪些运动；每个运动过程机械能是否守恒，找出其各段关联量。恰当的选取参考平面找出初、末态，根据分析情况采用分段或整体列式解题，如本典例中，判断B、C两项时，就可以采用分段列机械能守恒方程式解题。
(2)如果系统只有一个物体，用守恒观点列方程较简便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便。
[跟踪训练] (多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，不计空气阻力，以悬点所在的水平面为参考平面，则经最低点时( ) A．B球的动能大于A球的动能 B．A球的动能大于B球的动能 C．A球的机械能大于B球的机械能 D．A球的机械能等于B球的机械能 答案 BD
解析 空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。 考点3多物体组成的系统机械能守恒的应用[解题技巧]
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 判断方法：看是否有其他形式的能与机械能相互转化。 2．三种守恒表达式的比较
角度 守恒 观点 公式 意义 系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 系统减少(或增加)的重力ΔEk＝－ΔEp 势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两物体组成，转移 观点
ΔEA增＝ΔEB减 则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等 注意事项 初、末状态必须用同一零势能面计算势能 应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题 Ek1＋Ep1 ＝Ek2＋Ep2 转化 观点
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