一．模糊数学的基础知识
1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A，对?x，有x?A或x?A。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为E(x)）称为集合E的隶属函数。即对于每一个元素x，有[0,1]内的一个数E(x)与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U，U到[0，1]上的任一映射：
A:U?[0,1],u?A(u)(?u?U)
都确定了U上的一个模糊集合，简称为模糊子集。A(u)称为元素u属于模糊集A的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U上的老年人这个集合就是模糊集合：
0??u?50?2?1A(u)??(1?())?5?,u?50,50?u?100
若在集合U上定义了一个隶属函数，则称E为模糊集。
（2）模糊集合的表示：U?{u1,u2,.....,un}，A(u)称为元素u属于模糊集A的隶属度；则模糊集可以表示为：A?A(u1)u1?A(u2)u2?....?A(un)un。
或 A?{A(u1),A(u2),.....,A(un)}，A?{(u1,A(u1)),(u2,A(u2)),.....,(un,A(un))}， （3）模糊集合的运算：
A?{A(u1),A(u2),.....,A(un)}，B?{B(u1),B(u2),.....,B(un)}，
并集：
A?B?{A(u1)?B(u1),A(u2)?B(u2),.....,A(un)?B(un)}，
交集：A?B?{A(u1)?B(u1),A(u2)?B(u2),.....,A(un)?B(un)}， 补集：
A?{1?A(u1),1?A(u2),.....,1?A(un)}，
c包含：若?u?U,有A(u)?B(u)，则有A?B， 2．模糊集的截集
已知U上模糊子集A:U?[0,1],u?A(u)(?u?U)
对??[0,1]，则称A??{uu?U,A(u)??}为模糊集A的?-截集；
称A??{uu?U,A(u)??}为模糊集A的?-强截集；?称为A?、A?的置信水平或阀值。
ss二．模糊数学的基本定理
1．模糊截积：
已知U上模糊子集A:U?[0,1],u?A(u)(?u?U)
?A也是U上模糊集，对??[0,1]，其隶属函数为： (?A)(u)???A(u),(?u?U)；
称为?A为?与A的模糊截积。
2．分解定理1：已知模糊子集A?F(U)，则A???A?
??[0,1]推论1：对?u?U,A(u)??{???[0,1],u?A?}
3．分解定理2：已知模糊子集A?F(U)，则A???A?S
??[0,1]推论2：对?u?U,A(u)??{???[0,1],u?A?} 三．模糊关系与模糊聚类 1．模糊关系与模糊关系的合成
（1） 模糊关系 普通集合的经典关系，
模糊关系：从U到V 上的一个模糊关系：R:U?V?[0,1]，R(ui,vj)表示
ui与vj具有的关系程度，ui?U,vj?V（aij）aaij?1）称为U。A?m?n（ij满足0?S到V 上的一个模糊关系的模糊矩阵。
（2）．设A＝(aij)n?p和B=(Bij)p?m为两个模糊矩阵，令
p cij＝?(aik?bkj)，i＝1，2，?,n,j=1,2,?,m。
k?1则称矩阵C=(cij)n?m为模糊矩阵A与B的褶积，记为 C ＝A?B, 其中“?”和“?”的含义为
a?b?max{a,b} a?b?min{a,b}
显然，两个模糊矩阵的褶积仍为模糊矩阵 2. 模糊等价矩阵及其?矩阵 设方阵A为以模糊矩阵，若A满足 A?A=A
则称A为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。
设A＝(aij)n?n为一个模糊等价阵，0???1为一个给定的数，令
a(?)ij??1,若aij??????0,若aij?? i,j?1,2,...,n,
则称矩阵A??(aij(?))n?n为A的??截阵 例如，
?1?A ＝?0.4??0.60.410.40.6??0.4?1??
为一个模糊等价阵，取0.4
?1?A?=0???10101??0 ?1??若取0???0.4，则
?1?A?=1???11111??1 ?1??
2．模糊聚类：
模糊划分的概念最早由Ruspini提出，利用这一概念人们提出了多种聚类方法，比较典型的有：基于相似性关系和模糊关系的方法(包括聚合法和分裂法)，基于模糊等价关系的传递闭包方法、基于模糊图论最大树方法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨识关系等方法. 然而由于上述方法不适用于大数据量情况，难以满足实时性要求高的场合，因此其实际的应用不够广泛，故在该方面的研究也就逐步减少了. 实际中受到普遍欢迎的是基于目标函数的方法，该方法设计简单、解决问题的范围广，最终还可以转化为优化问题而借助经典数学的非线性规划理论求解，并易于计算机实现. 因此，随着计算机的应用和发展，该类方法成为聚类研究的热点.
（1）模糊聚类的基本概念
模糊聚类目标函数的演化
模糊聚类方法
模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先将数据进行标准化，计算变量间相似矩阵或样品间的距离矩阵，将其元素压缩到0与1之间形成模糊相似矩阵，进一步改造为模糊等价矩阵，最后取不同的标准?，得到不同的??截阵，从而就可以得到不同的类。具体步骤如下： 第一步：数据标准化 1.数据矩阵
设论域U?{x1,x2,...,xn}为被分类的对象，每个对象又由m个指标表示其性状：
xi?{xi1,xi2,...,xim}
（i?1,2,...,n）
于是得到原始数据矩阵为
?x11?x?21?...??xn1x12x22...x2n............x1m??x2m? ...??xnm?2.数据标准化
在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样得到的数据也不一定
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