..
经检验符合题意，所以方程的解为x＝11. 类型三 简单的组合问题
例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 考点 组合的应用
题点 无限制条件的组合问题 答案 (1)45 (2)21 (3)90
解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C1010×9＝＝45(种)． 2×1(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C6种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C4种方法．
根据分类加法计算原理，共有C6＋C4＝15＋6＝21(种)不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C6×C4＝
2
2
2
2
2
222
2
6×54×3
×＝90(种)． 2×12×1
反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C8＝
3
8×7×6
＝56.
3×2×1
7×62
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C7＝＝21.
2×17×6×53
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C7＝＝35.
3×2×1
精品
..
1．给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 B
解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.
2．集合M＝{x|x＝C4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} C．M?Q 考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算 答案 D
解析 由C4知n＝0,1,2,3,4，因为C4＝1，C4＝4，C4＝＝{1,4}．
3．若C12＝C12，则n等于( ) A．3 B．5 C．3或5 D．15 考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 C
解析 由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.
4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )
A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 C
解析 分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C3·C5＋C3·C5＝45(种)选法．
精品
1
2
2
1
nB．Q?M D．M∩Q＝{1,4}
n012
4×3314
＝6，C4＝C4＝4，C4＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q2
n2n－3
..
5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20
解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C5＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A5＝20.所以有向线段共有20条．
1．排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算
Ann?n－1??n－2?…?n－m＋1?(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝m＝计算；
Amm！
mnm2
2
(2)涉及字母的可以用阶乘式Cn＝(3)组合数的两个性质： 性质1：Cn＝Cn； 性质2：Cn＋1＝Cn＋Cn.
mmm－1
mn－mmn！
计算．
m！?n－m?！
一、选择题
1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C
解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． A101
2.297等于( ) C100＋C1001A. 6
B．101
3
精品
..
C.
1 107
D．6
考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算 答案 D
A101A101A1013
解析 297＝23＝3＝A3＝6.
C100＋C100C100＋C100C1013．下列等式不正确的是( ) A．Cn＝
mm3
3
3
n！
m！?n－m?！
mm－1
B．Cn＝Cn D．Cn＝Cn＋1
mm＋1
mn－mC．Cn＋1＝Cn＋Cn 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D
解析 A是组合数公式；B，C是组合数性质；Cn＝4．若An＝6Cn，则n的值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B
解析 由题意知n(n－1)(n－2)＝6·化简得
3
4
mn！?n＋1?！m＋1
，Cn＋1＝，两者不相等，故D错误．
m！?n－m?！?m＋1?！?n－m?！
n?n－1??n－2??n－3?
4×3×2×1
，
n－3
4
＝1，所以n＝7.
5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A．A10种 C．C10A10种 考点 组合的应用
题点 无限制条件的组合问题 答案 B
解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C10.
6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A．24种 C．12种 考点 组合的应用
精品
3
3
33
B．C10种 D．30种
3
B．10种 D．9种
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