思想方法训练1 函数与方程思想
思想方法训练第2页
一、能力突破训练
1.已知椭圆
??24
+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一个交点为P,则
|PF2|=( )
A. 答案:C
解析:如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,
√32
B.√3 C.
2
7
D.4
则{
??1+??2=2??=4,
2
??22-??1=(2??)=12,
2
化简得{
??1+??2=4,7
解得r2=2.
??2-??1=3,
2.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ) A.-2 答案:D
解析:因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
又因为f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而
B.-1
C.0
D.1
f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故选D.
3.已知函数f(x)=x+e-(x<0)与g(x)=x+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范
2
2
x1
2
围是( ) A.(-∞,e)
√1B.(-∞,√e) D.(-√e,e)
√1C.(-1√,√e) e 1
答案:B
解析:由已知得,与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为h(x)=x+e-2(x>0).
2
-x1
令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-2.
作函数M(x)=e-(x>0)的图象,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.
2
-x-x1
1
当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则lna<2,则0 4.已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和.若a1,a2,a5成等比数列,则S8的值为( ) A.16 答案:C 解析:因为a1,a2,a5成等比数列,则??22=a1·a5,即(1+d)=1×(1+4d),解得d=2.所以an=1+(n-2 1 B.32 C.64 D.62 1)×2=2n-1,S8=(??1+??8)×8 2 =4×(1+15)=64. x-x5.(2019北京,理13)设函数f(x)=e+ae(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 . 答案:-1 (-∞,0] 解析:若函数f(x)=e+ae为奇函数,则f(-x)=-f(x),e+ae=-(e+ae),(a+1)(e+e)=0对任意的x恒成立,则a=-1. 若函数f(x)=e+ae是R上的增函数, 则f'(x)=e-ae≥0恒成立,即a≤e,故a≤0. 6.已知直线y=a交抛物线y=x于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 . 答案:[1,+∞) 2 x-x-xxx-xx-xx-xx-x2x 1 解析:以AB为直径的圆的方程为x+(y-a)=a. 2 2 ??=??2,22由{2得y+(1-2a)y+a-a=0, 2 ??+(??-??)=??, 即(y-a)[y-(a-1)]=0. 则由题意得{ ??>0, 解得a≥1. ??-1≥0, 7.(2019北京,理14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. (1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 . 答案:(1)130 (2)15 解析:(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元, 当y<120时,李明得到的金额为y·80%元,符合要求. 当y≥120元时,有(y-x)·80%≥y·70%成立, 即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤()88所以x的最大值为15. 8.已知函数f(x)=cosx+sin x+a-1,不等式1≤f(x)≤4对一切x∈R恒成立,求a的取值范围. 解:f(x)=cosx+sinx+a-1=1-sinx+sinx+a-1=-(sin??-2)+a+4. 因为-1≤sinx≤1, 所以当sinx=2时,函数有最大值f(x)max=a+4, 当sinx=-1时,函数有最小值f(x)min=a-2. 1 1 2 2 2 ????min =15. 17 12 1 1 因为1≤f(x)≤4对一切x∈R恒成立, 所以f(x)max≤4,且f(x)min≥1, 17 17 ??+4≤4,即{解得3≤a≤4, ??-2≥1, 故a的取值范围是[3,4]. 9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2,C=. 3π 117 (1)若△ABC的面积等于√3,求a,b的值; (2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 解:(1)由余弦定理及已知条件,得a+b-ab=4. 因为△ABC的面积等于√3, 所以2absinC=√3,得ab=4. 联立{ 1 2 2 ??2+??2-????=4,解得a=2,b=2. ????=4, (2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA. 当cosA=0时,A=,B=,a=2 6 π π 4√33 ,b=2√33 . 当cosA≠0时,得sinB=2sinA, 由正弦定理得b=2a. 222√34√3联立{??+??-????=4,解得a=,b=. 33??=2??, 故△ABC的面积S=absinC=2 12√33 . 10.某地区要在如图所示的一块不规则用地上规划建成一个矩形商业楼区,余下的作为休闲区,已知 AB⊥BC,OA∥BC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲线OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果矩 形的两边分别落在AB,BC上,且一个顶点在曲线段OC上,应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大?并求出最大的用地面积. 1 解:以点O为原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(-2,4),C(2,4),设抛物线的方程为x=2py(p>0),把C(2,4)代入抛物线方程得p=2,所以曲线段OC的方程为y=x(x∈[0,2]). 设P(x,x)(x∈[0,2])在OC上,过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N, 2 2 1 2 故|PQ|=2+x,|PN|=4-x,则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x)(x∈[0,2]). 整理,得S(x)=-x-2x+4x+8. 令S'(x)=-3x-4x+4=0,得x=3或x=-2(舍去),当x∈[0,3]时,S'(x)>0,S(x)单调递增, 2 3 22 2 22 当x∈[,2]时,S'(x)<0,S(x)单调递减, 3 2 所以当x=时,S取得最大值, 3 2 此时|PQ|=2+x=,|PN|=4-x=,Smax=× 3 9 3329 83 8 2 328329 = 25627 . 25627 故该矩形商业楼区规划成长为,宽为时,用地面积最大,且为 二、思维提升训练 11.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144. (1)求数列{an}的通项an; (2)设数列{bn}的通项bn=??最大值. 解:(1)∵{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144, 1 ??????+1 . ,记Sn是数列{bn}的前n项和,若n≥3时,有Sn≥m恒成立,求m的 ∴S10=145. 1
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