2.2函数的单调性和最值

§2.2 函数的单调性与最值

考点1 函数单调性的判断(证明)

单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1 B．k< C．k>－ 2221 D．k<－ 2(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是________函数．(填“增”或“减”)

单调性易错点：单调性是区间内的性质．

函数f(x)＝x2－1在定义域内________单调性．(填“有”或“没有”)

[典题1] (1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )

－

A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] (2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)＝

ax

(a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1

考点2 求函数的单调区间

单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间．

(1)[教材习题改编]函数f(x)＝

2

在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是________． x－1

(2)[教材习题改编]f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f(x)max＝________.

1.常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数．

1

函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间是________；函数y＝的单调递减区间是

x_____________________________________．

2．复合函数的单调性：同增异减．

1

函数f(x)＝log(x2－1)的单调递增区间是________．

2

[典题2] (1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)＝log1 (x2－x－2)的单调递增区间为( )

2

11

－∞，? B．?，＋∞? C．(－∞，－1) D．(2，＋∞) A.?2???2?

求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间.

[题点发散1] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝|－x2＋2x＋1|”，如何求解？ [题点发散2] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝－x2＋2|x|＋1”，如何求解？

[点石成金] 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法

2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”.

[2017·天津模拟]函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0

调递减区间是( )

11

0，? B．[a，1] C．(－∞，0)∪?，＋∞? D．[a，a＋1 ] A.??2??2?

考点3 函数单调性的应用

函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 (3)对于任意的x∈I，都有________； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 条件 结论

角度一 利用函数的单调性求最值 1??x，x≥1，[典题3] (1)函数f(x)＝?的最大值为________． ??－x2＋2，x<1a(2)已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．

x①当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域； ②求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值． 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 [典题4] [2017·黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>11

－?，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f??2?系为( )

A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b 角度三

利用函数的单调性求解不等式

[典题5] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )

A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9]

D．(0,8) D．b>a>c