【迁移探究2】 在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值.
解 由b＝a＋c－2accos B＝a＋c－ac， 则9＝a＋c－ac≥2ac－ac＝ac，
所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)， 112π93
故S△ABC＝acsin B≤39sin＝，
223493
所以△ABC面积的最大值为.
4
探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.
2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
2B
【训练2】 (20172全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin. 2
2
22
2
2
2
2
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.
2B
解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin，
2
故sin B＝4(1－cos B).
上式两边平方，整理得17cosB－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝
15. 17
2
158
(2)由cos B＝及B为三角形一内角，得sin B＝，
171714
故S△ABC＝acsin B＝ac.
21717
又S△ABC＝2，则ac＝.
2由余弦定理及a＋c＝6得
b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－2ac (1＋cos B) 17?15?
＝36－233?1＋?＝4.
2?17?所以b＝2.
考法2 应用正、余弦定理解决实际问题
【例2－2】 (20182衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象
2
2
2
2
观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A.210(6＋2)米 B.1406米 C.2102米
D.20(6－2)米
2
2
2
解析 由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC＝BA＋CA－2BA2CA2cos∠BAC，即(x－40)＝x＋10 000－100x，解得x＝420(米).
在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°， CHACsin∠CAH
由正弦定理：＝.可得CH＝AC2＝1406(米).
sin∠CAHsin∠AHCsin∠AHC答案 B
探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
2
2
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 600BC
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
sin 45°sin 30°解得BC＝3002(m).
在Rt△BCD中，CD＝BC2tan 30°＝30023答案 1006
热点三 与解三角形有关的创新交汇问题
【例3】 (20182郑州质检)已知向量m＝(2sin ωx，cosωx－sinωx)，n＝(3cos ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m2n的最小正周期为π. (1)求ω的值；
→→
(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sin B＝3sin A，求BA2BC的值.
2
2
3
＝1006(m). 3
π??22
解 (1)f(x)＝m2n＝23sin ωxcos ωx＋cosωx－sinωx＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin?2ωx＋?.
6??2π
因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π.
2|ω|又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝2sin?2x＋
??
π??. 6?
设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
?因为f(B)＝－2，所以2sin?2B＋
?
π?
＝－2， 6??
π?2π?即sin?2B＋?＝－1，由于0 6?3?因为BC＝3，即a＝3，又sin B＝3sin A， 所以b＝3a，故b＝3. 3 由正弦定理，有＝ sin A 1 ，解得sin A＝. 2π2sin 33 ππ 由于0＜A＜，解得A＝. 36π 所以C＝，所以c＝a＝3. 6 2π3→→ 所以BA2BC＝cacos B＝3333cos ＝－. 32 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解. 【训练4】 已知函数f(x)＝sinx－cosx＋23sin xcos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期； 1 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长. 7解 (1)f(x)＝－cos 2x＋3sin 2x＝2sin?2x－∴T＝ 2π ＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π. 2 2 2 ?? π?. 6?? (2)由(1)知f(x)＝2sin?2x－ ? ? π?， 6?? ?∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin?2A－ ? π? ＝1， 6?? πππ143 ∴2A－＝，∴A＝.又cos B＝，∴sin B＝， 62377∴sin C＝sin(A＋B)＝3114353 3＋3＝， 272714 ca5a 在△ABC中，由正弦定理＝，得＝， sin Csin A533 1427 ∴a＝7，∴BD＝，在△ABD中，由余弦定理得， 2 7?271129129?AD＝AB＋BD－2AB2BDcos B＝5＋??－23533＝，∴AD＝. 2742?2? 2 2 2 2 1.对于三角函数的求值，需关注： (1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解. 1 3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S＝absin C来求面积，再 2利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角. 一、选择题 1 1.(20182全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝( ) 38A. 97C.－ 9 2 7B. 98D.－ 9 ?1?72 解析 cos 2α＝1－2sinα＝1－23??＝. ?3?9 答案 B 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin A)，则A＝( ) 3 A.π 4 B.π 3 2 2 2 2 2 2 πC. 4 2 D. π 6 b＋c－a2b－2b（1－sin A）π 解析 由已知得cos A＝＝＝sin A.在△ABC中，A＝. 2 2bc2b4答案 C
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