内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型
高考导航 该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.
热点一 三角函数的图象和性质(规范解答)
注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解. 【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f(x)＝sin x－23sin. 2(1)求f(x)的最小正周期；
2
x?2π?(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.
3??
满分解答 (1)解 因为f(x)＝sin x＋3cos x－3. 2分
?π?＝2sin?x＋?－3.4分
3??
所以f(x)的最小正周期为2π.6分
2πππ
(2)解 因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.8分
333π2π
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.11分
33
?2π所以f(x)在区间?0，
3?
13分
?上的最小值为f?2π?＝－3. ??3????
?将f(x)化为asin x＋bcos x＋c形式得2分. ?将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋h形式得2分. ?求出最小正周期得2分. ?写出ωx＋φ的取值范围得2分. ?利用单调性分析最值得3分.
- 1 -
?求出最值得2分.
求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式；
2π
第二步：由T＝求最小正周期；
|ω|第三步：确定f(x)的单调性；
第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论. 【训练1】 设函数f(x)＝32
－3sinωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一2
π
个对称中心到最近的对称轴的距离为. 4(1)求ω的值；
3π??(2)求f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值. 2??解 (1)f(x)＝＝＝
32
－3sinωx－sin ωxcos ωx 2
31－cos 2ωx1－3·－sin 2ωx 222
π?31?cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin?2ωx－?.
3?22?
ππ
因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝
442π
π.又ω＞0，所以＝π，因此ω＝1.
2ω
π?π?(2)由(1)知f(x)＝－sin?2x－?.设t＝2x－，则函数f(x)可转化为y＝－sin t. 3?3?3π5ππ8π
当π≤x≤时，≤t＝2x－≤ ，如图所示，作出函数y＝sin t2333在?
?5π，8π? 上的图象， 3??3?
3??5π，8π?时，sin t∈?
??－，1?， 3??3?2?
由图象可知，当t∈?故－1≤－sin t≤
π?33?，因此－1≤f(x)＝－sin?2x－?≤. 3?22?
- 2 -
3π?3?故f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值分别为，－1. 2?2?热点二 解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.
【例2】 (2017·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)＝2sin(x?π?－A)cos x＋sin(B＋C)(x∈R)，函数f(x)的图象关于点?，0?对称.
?6??π?(1)当x∈?0，?时，求函数f(x)的值域；
2??
133
(2)若a＝7，且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积.
14解 (1)∵f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C) ＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A ＝2sin xcos Acos x－2cosxsin A＋sin A ＝sin 2xcos A－cos 2xsin A＝sin(2x－A)，
2
?π?又函数f(x)的图象关于点?，0?对称， ?6??π??π?则f??＝0，即sin?－A?＝0，
?6??3?
π又A∈(0，π)，则A＝，
3π??则f(x)＝sin?2x－?. 3??
?π?由于x∈?0，?， 2??
π?π2π
则2x－∈?－，33?3即－?， ??
π?3? 则函数f(x)的值域为?－??3?，1?. 2? abc14 (2)由正弦定理，得＝＝＝， sin Asin Bsin C3 - 3 - 则sin B＝ 33 b，sin C＝c， 1414 3133 (b＋c)＝，即b＋c＝13. 1414 2 2 2 sin B＋sin C＝ 由余弦定理，得a＝c＋b－2bccos A， 即49＝c＋b－bc＝(b＋c)－3bc，即bc＝40. 113 则△ABC的面积S＝bcsin A＝×40×＝103. 222 探究提高 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键. 【训练2】 四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求角C的大小和线段BD的长度； (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)设BD＝x， 1＋4－x在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝， 2×2×19＋4－x在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝， 2×2×3∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0. 1 联立上式，解得x＝7，cos C＝. 2由于C∈(0，π). π ∴C＝，BD＝7. 3 π3 (2)∵A＋C＝π，C＝，∴sin A＝sin C＝. 32又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD 113 ＝AB·ADsin A＋CB·CDsin C＝×(1＋3)＝23， 222∴四边形ABCD的面积为23. 热点三 三角函数与平面向量结合 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题. 【例3】 (2016·浙江适应性考试)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n. - 4 - 22 2 2 2
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