一、填空题
1．设等差数列{an}的公差d≠0，a1＝4d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k的值为________．
解析：由条件知an＝a1＋(n－1)d＝4d＋(n－1)d＝(n＋3)d，即an＝(n＋3)d(n∈N*)．又a2a2k，所以(k＋3)2d2＝4d·(2k＋3)d，且d≠0，所以(k＋3)2＝4(2k＋k＝a1·3)，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1(舍去)． 答案：3
2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生1
产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝2n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________．
解析：由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2；当n＝1时也适合．据题意令an≥150?n≥52，即数列从第8项开始超过1 50，即这条生产线最多生产7年． 答案：7
3．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．
解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10， ∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4， 13?a1＋a13?13?a4＋a10?
∴S13＝＝＝26.
22答案：26
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于________．
an＋2
解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得a＝2，所以a1，
na3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
1
答案：64
S1＋S2＋…＋Sn
5．有限数列A：a1，a2，…，an，Sn为其前n项和，定义为A的
n“凯森和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a1，a2，…，a99的“凯森和”为________． 解析：设a1，a2，…，a99的“凯森和”为 S1＋S2＋…＋S99
＝1 000，
99
则1，a1，a2，…，a99的“凯森和”为
T1＋T2＋…＋T100
，
100
而T1＝1，T2＝S1＋1，T3＝S2＋1，…，T100＝S99＋1， T1＋T2＋…＋T100S1＋S2＋S99＋100所以＝＝991.
100100答案：991
6．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________． 解析：由题知a2a17， 5＝a1·即a2(a5＋12d)， 5＝(a5－4d)·∴8a5d－48d2＝0， ∵d≠0，∴a5＝6d，
a5a56d
∴公比q＝a＝＝＝3.
1a5－4d6d－4d答案：3
7．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数共有________．
解析：由于an＋2－an＝1＋(－1)n，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构15×14
成公差为2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋2×2＝255. 答案：255
8．已知a，b∈R＋，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab
2
与AG的大小关系是________． a＋b
解析：依题意A＝2，G＝ab， a＋b
∴AG－ab＝2·ab－ab a＋b
＝ab(2－ab) ?a－b?2
＝ab·≥0，
2∴AG≥ab. 答案：AG≥ab
9．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是________．
解析：根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4. ∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1. 答案：1 二、解答题
1
10．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝2(1－an)． (1)求数列{an}的通项公式；
3
(2)若数列{bn}满足bn＝nan，求证：b1＋b2＋…＋bn<4. 解析：(1)当n≥2时，
11
an＝Sn－Sn－1＝2(1－an)－2(1－an－1) 11
＝－2an＋2an－1,2an＝－an＋an－1， 由题意可知an－1≠0， an1∴＝， an－13
1
所以{an}是公比为3的等比数列．
3
11
S1＝a1＝2(1－a1)，a1＝3. 111an＝3×(3)n－1＝(3)n. 1
(2)证明：bn＝n(3)n，
1111
设Tn＝1×(3)1＋2×(3)2＋3×(3)3＋…＋n×(3)n，① 11111
∴3Tn＝1×(3)2＋2×(3)3＋3×(3)4＋…＋n×(3)n＋1，② ①－②，化简得
331n31n＋13∴Tn＝4－4(3)－2n(3)<4.
11．从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2014年投入800万元，以后每年投入将比上1
年减少5，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促1
进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4.
(1)设n年内(2014年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解析：(1)第1年投入为 800 万元， 1
第2年投入为 800×(1－5)万元，…， 1
第n年投入为 800×(1－5)n－1万元， 所以，n年内的总投入为
11
an＝800＋800×(1－5)＋…＋800×(1－5)n－1 4
＝4 000×[1－(5)n]．
第1年旅游业收入为 400 万元，
1
第2年旅游业收入为 400 ×(1＋4)万元，…，
4
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