函数周期性复习练习题 

函数周期性

一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使

f(x?T)?f(x)恒成立

则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论 1、

f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 3、 若函数

f?x?a??f?x?a?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数

1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 f?x?15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ?(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

f?x?1?f(x)6、f(x?a)?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数.

1?f(x)1?f(x)，则f?x?是以T?4a为周期的周期函数.

7、f(x?a)??1?f(x)4、 y=f(x)满足f(x+a)=

8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。 9、函数

y?f(x)?x?R?的图象关于两点A?a,y0?、B?b,y0??a?b?都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为y?f(x)?x?R?的图象关于A?a,y0?和直线x?b?a?b?都对称，则函数f(x) 是以4?b?a?为周

周期的周期函数； 10、函数

期的周期函数；

11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且212、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4

a是它的一个周期。 a是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0), 则f(函数的轴对称： 定理1：如果函数推论1：如果函数推论2：如果函数

T2)=0.

y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a?b2对称.

y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称.

y?f?x?满足f?x??f??x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?0（y轴）对称.特别地，

推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

一、 函数的点对称： 定理2：如果函数推论3：如果函数推论4：如果函数

y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b，则函数y?f?x?的图象关于点?a,b?对称. y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??0，则函数y?f?x?的图象关于点?a,0?对称. y?f?x?满足f?x??f??x??0，则函数y?f?x?的图象关于原点?0,0?对称.特别地，推

论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

三、函数周期性的性质：

定理3：若函数

f?x?在

R上满足

，则函数f(a?x)?f?a?x?，且f(b?x)?f?b?x?（其中a?b）

y?f?x?以2?a?b?为周期.

第 1 页 函数的周期性

定理4：若函数

f?x?在

R上满足

，则函数f(a?x)??f?a?x?，且f(b?x)??f?b?x?（其中a?b）

y?f?x?以2?a?b?为周期.

定理5：若函数

f?x?在

R上满足

，则函数f(a?x)?f?a?x?，且f(b?x)??f?b?x?（其中a?b）

y?f?x?以4?a?b?为周期.

以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.

例1．已知定义为R的函数

f?x?满足f??x???f?x?4?，且函数f?x?在区间?2,???上单调递增.如果

x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1??f?x2?的值（ ）.

A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负. 分析：

f??x???f?x?4?形似周期函数f?x??f?x?4?，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过x?2代替

适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用

x

，使

f??x???f?x?4?变形为

f?2?x???f?x?2?.它的特征就是推论3.因此图象关于点?2,0?对称. f?x?在区间?2,???上单调递增，在区

间

???,2?上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）

?2?x2?4?x1，且函数在?2,???上单调递增，所以 f?x2??f?4?x1?，又由f??x???f?x?4?，

有

f(4?x1)?f???x1?4???f?x1?4?4???f?x1?， 0 2 ?f?x1??f?x2??f?x1??f?4?x1??f?x1??f?x1??0.选A. 当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A. 练1：（07天津7）在R上定义的函数

f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )

A.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[?2,?1]D.在区间[?2,?1]分析：由

上是减函数，在区间[3,4]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 上是增函数

f(x)?f(2?x)可知f(x)图象关于x?1对称，即推论1

的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于x?0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右f(x)草图.故选B

练2.（07安徽）定义在R上的函数

f(x)既是奇函数，又是周期函数，

T是它的一个正周期.若将方程

f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为（ ）

第 2 页 函数的周期性

A.0

分析：

B.1

C.3

D.5

TTTTf(T)?f(?T)?0，f(?)??f()?f(??T)?f()，

2222TT∴f(?)?f()?0，则n可能为5 ？

22且当0?x?1时，f?x??x.求f?19.5?y?f?x?的图象关于直线x?2和x?4都对称，

例2．已知函数的值.

分析：由推论1可知，同样，

y?f?x?的图象关于直线x?2对称，即f?2?x??f?2?x?，

f?x?满足f?4?x??f?4?x?，现由上述的定理3知y?f?x?是以4为周期的函数.

?f?19.5??f?4?4?3.5??f?3.5??f?4???0.5???f??0.5?，同时还知f?x?是偶函数，所以f??0.5??f?0.5??0.5.

例3．

f?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x?，则f?0?，f?1?，f?2?，…，f?999?中最多

B.177

C.183

D.199

有（ ）个不同的值.

A.165 分析：由已知

f?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x??f?x?1056?

?f?x?1760??f?x?704??f?x?352?.

又有

f?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x??f?x?1056?

?f??2158??1056?x????f?1102?x??f?1102?x?1056??f?46?x?，

于是又

f(x)有周期352，于是?f?0?,f?1?,?,f?999??能在?f?0?,f?1?,?,f?351??中找到.

f(x)的图像关于直线x?23对称，故这些值可以在?f?23?,f?24?,?,f?351??中找到.又f(x)的图像

?199对称，故这些值可以在?f?23?,f?24?,?,f?199??中找到.共有177个.选B.

关于直线x练3：已知

f?x??1?xf?x??f1?x??fn?x??，f1?x??f?，f2?x??f?，…，fn?1?x??f?，则??????1?3xf2004??2??（ ）.

分析：由

f?x??1?xx?1?x?1?，可令x=f（x）知f1?x??，f2?x??f???x，f3?x??f?x?.

1?3x3x?13x?1??1.即将x=-2带进原7f(x)为迭代周期函数，故f3n?x??f?x?，f2004?x??f?x?，f2004??2??f??2???函数中 练4：函数

且满足f(x)是偶函数，且f?0??2005，g?x??f?x?1?是奇函数，则f?2005?f(x)在R上有定义，

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的值为 . 解：

g??x??f??x?1???g?x???f?x?1?，

f??x?1???f?x?1?，令

y?x?1，则

，即有f?x??f?x?2??0，令an?fxf???y???f2y???则an?an?2?0，其中a0?2005，a1?0，?，

an?2005?n2005?2005n2005i???i??，f?2005??a2005?i???i??

??2?2?

?0. 或有f?x???f?x?2?，得f?2005???f?2003??f?2001???f?1999????f?1??0.

练习：1、判断函数 f ( x ) = 2 的奇偶性

1?x解：由题

|x?2|?2

?1?x2?0?(x?1)(x?1)?0??1?x?1 ??????x?2??2?x?0且x??4?|x?2|?2?0

∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]

221?x21?(?x)21?x1?x此时 f ( x ) = ??又f(?x)??x?x(x?2)?2x

故 f ( x ) 是奇函数

4、抽象函数奇偶性的判定与证明

= －f ( x )

例4（2007北京西城）已知函数f(x)对一切x,y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，

（1）求证：f(x)是奇函数；（2）若f(?3)?a，用a表示f(12)

解：（1）显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x?y)?f(x)?f(y)中， 令y??x，得f(0)?f(x)?f(?x)，令x?y?0，得f(0)?f(0)?f(0)，∴f(0)?0， ∴f(x)?f(?x)?0，即f(?x)??f(x)， ∴f(x)是奇函数． （2）由f(?3)?a，f(x?y)?f(x)?f(y)及f(x)是奇函数， 得f(12)?2f(6)?4f(3)??4f(?3)??4a． 5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值

练习：已知f(x)是R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，

3??x(1?x),x?0则f(x)的解析式为f(x)?? 3??x(1?x),x?0例7（2007黄冈中学月考）已知函数f(x)??x?log21?x，求1?xf(?1111)+f(?)+f()+f()的值 2005200420042005 第 4 页 函数的周期性

1?x?0得函数的定义域是(?1,1) 1?x1?x1?x?log2?log21?0 又f(?x)?f(x)?log21?x1?x解：由

?f(?x)??f(x)成立，?函数是奇函数

1111)+f()=0 f(?)+f()=0 20052005200420041111)+f(?)+f()+f() =0 ∴f(?2005200420042005f(?例8（2007海南、宁夏）设函数解析:∵f(x)=

, ∴f (－x)=－

为奇函数，则

－1

又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x). ∴

=

.∴x2?(a?1)x?a?x2?(a?1)x?a ∴a=－1.

练习：已知f(x)?ax2?bx?3a?b是 偶函数，定义域为?a?1,2a?，则a?解：a?1??2a?a?1，b=0 31 ，b?0 3？ 1，且当x???3,?2?时，f(x)?2x,则f(113.5)f(x)3、设偶函数f(x)对任意x?R，都有f(x?3)??的值为(D) A.?2211 B. C.? D.

7557解：?f(x?3)??11?f(x?6)?f[(x?3)?3]???f(x) f(x)f(x?3)?f(x)是以T?6为周期的周期函数?f（113.5）?f（18?6?5.5）?f(5.5)?f(6?0.5)?f(?0.5)

111?????f(3?0.5)f(?2.5)5例13、已知f(x)是周期为4的偶函数，当x??2,3?时，f(x)?x，求f(6.5),f(?1.5)，f(5.5) 解：f(?x)?f(x)，f(x?4)?f(x)f(6.5)?f(4?2.5)?f(2.5)?2.5

f(?1.5)?f(?1.5?4)?f(2.5)?2.5

f(5.5)?f(5.5?4?f(1.5)?f(?1.5)?f(?1.5?4)?f(2.5)?2.5

例14、（2005福建）

是定义在R上的以3为周期的奇函数，且

,则方程f(x)=0在区间（0，

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6）内解的个数的最小值是 D

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0. 又∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0. 又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0. ∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为5. 练习：1、（2007重庆）已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则D A.f(6)＞f(7) B.f(6)＞f(9) C.f(7)＞f(9) D.f(7)＞f(10) 解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.

又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10). 2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为B (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析：∵f（x+2）=-f（x）.∴f（6）=f（4+2）=-f（4）=f（2）=-f（2）. 又-f（x）为R上的奇函数，∴f（2）=0 ∴f（6）=0. 3、（2005重庆）若函数

是定义在R上的偶函数，在

上是减函数，且

，则使得

的x的取值范围是 （ D）

A．

B．

C．

D．（－2，2）

解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.

又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减. ∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.

由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0. ∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.

4、（2005全国Ⅳ）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=A.0 B.1 C.

D.5

, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5）等于（ C）

解：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=

?f(1)?f(?1?2)?f(?1)?f(2)??f(1)?f(2) ?f(2)?2f(1)?2?1?1 25 2?f(5)?f(3?2)?f(3)?f(2)?f(1?2)?f(2)?2f(2)?f(1)?

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