2016年考研数学导学课
高等数学部分
第一章 极限与连续
第一部分 极限理论
一、函数初等特性
1、奇偶性—设函数f(x)的定义域关于原点对称，若f(?x)?f(x)，称f(x)为偶函数；若f(?x)??f(x)，称f(x)为奇函数。
【例1】 判断函数f(x)?ln(x?1?x2)的奇偶性，并求其反函数。
2、周期性—设f(x)的定义域为D，若存在T?0，使得对任意的x?D，有x?T?D且
f(x?T)?f(x)，称f(x)为周期函数。
【例2】讨论函数f(x)?x?[x]的周期性。
3、单调性—设对任意的x1,x2?D且x1?x2，有f(x1)?f(x2)，称f(x)在D上为单调增函数，反之称为单调减函数。
4、有界性—若存在M?0，对任意的x?D，有|f(x)|?M，称f(x)在D上有界。 二、基本概念
1、基本初等函数与初等函数
（1）基本初等函数—幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。
（2）初等函数—由常数及基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算而成的式子，称为初等函数。 2、极限
（1）数列极限(??N)—若对任意的??0，总存在N?0，当n?N时，有 |an?A|??
成立，称数列{an}以A为极限，记为liman?A。
n??（2）函数f(x)当x?a时的极限（???）—若对任意的??0，总存在??0，当
0?|x?a|??时，有
|f(x)?A|??
成立，称A为f(x)当x?a时的极限，记为limf(x)?A。
x?a（3）函数f(x)当x??时的极限（??X）—若对任意的??0，存在X?0，当|x|?X时，有
|f(x)?A|??
成立，称A为f(x)当x??时的极限，记为limf(x)?A。
x??【注解】
（1）x?a包含：??x?a。
?x?a?,x?a?（2）函数在一点的极限与函数在该点有无定义无关。
（3）若limf(x)?A，称A为f(x)在x?a处的左极限，记为f(a?0)?A；若
x?a?x?a?limf(x)?B，称B为f(x)的右极限，记为f(a?0)?B，注意limf(x)存在的充分必
x?a要条件是f(a?0)与f(a?0)都存在且相等。 （4）形如a若对limex?1kx?b(a?0)当x?a时的极限一定分左右极限。
2x?12x?1，因为limex?1??0，limex?1?2x?1???，所以极限不存在；
又如f(x)?1?21?21x1x，显然f(0?0)?1，f(0?0)??1，故limf(x)不存在。
x?03、无穷小
（1）若lim?(x)?0，称?(x)当x?a时为无穷小。
x?a（2）设??0,??0，若lim??0，称?为?的高阶无穷小，记为??o(?)；若???lim?k?0，称?与?为同阶无穷小，记为??O(?)，特别地，若lim?1，称?与
???为等价无穷小，记为?~?。
三、极限性质
（一）极限一般性质
定理1（唯一性定理） 极限具有唯一性。 定理2（保号性定理）
（1）若limf(x)?A?0(?0)，则存在??0，当0?|x?a|??时，f(x)?0(?0)。
x?a（二）极限的存在性质
定理1 单调有界的数列必有极限。
情形一：设{an}单调增加，且存在M，使得an?M，则liman存在。
n??情形二：设{an}单调减少，且存在M，使得an?M，则liman存在。
n??定理2（夹逼定理）
（1）数列型：设an?bn?cn，且liman?limcn?A，则limbn?A。
n??n??n??【例1】计算lim??111??。 ?????222n???n?2n?n??n?1（2）函数型：设f(x)?g(x)?h(x)，且limf(x)?limh(x)?A，则limg(x)?A。 （三）无穷小的性质
1、无穷小的一般性质
（1）有限个无穷小之和、差、积为无穷小。 （2）有界函数与无穷小之积为无穷小。
（3）limf(x)?A的充分必要条件是f(x)?A??，其中??0。 2、等价无穷小的性质 （1）?~?；
（2）若?~?，则?~?； （3）若?~?,?~?，则?~?； （4）若?~??,?~??且lim????A，则lim?A。 ???x3、当x?0时常用的等价无穷小
（1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e?1~ln(1?x)； （2）1?cosx~a12x； 2（3）(1?x)?1~ax。 （四）极限的运算性质 1、极限四则运算性质
设limf(x)?A，limg(x)?B，则
（1）lim[f(x)?g(x)?limf(x)?limg(x)?A?B。 （2）limf(x)g(x)?limf(x)limg(x)?AB。
（3）limf(x)limf(x)A??(B?0)。 g(x)limg(x)B2、极限的复合运算性质
若limf(u)?A，limg(x)?a（g(x)?a），则limf[g(x)]?A。
u?ax?x0x?x0【注解】
设P(x)?amxm???a1x?a0，Q(x)?bnxn???b1x?b0，则
??0,m?nP(x)??lim???,m?n。 x??Q(x)?a?m,m?n??bn四、重要极限 1、limsin??1。
??0?1?2、lim(1??)??0?e。
第二部分 连续与间断
一、概念 1、连续
（1）函数在一点处连续—设f(x)在x?a的邻域内有定义，若limf(x)?f(a)，称f(x)x?a在x?a处连续。
【注解】f(x)在x?a处连续的充分必要条件是f(a?0)?f(a?0)?f(a)。
（2）函数f(x)在[a,b]上连续—设f(x)在[a,b]上有定义，f(x)在(a,b)内点点连续，且
f(a?0)?f(a),f(b?0)?f(b)，称f(x)在[a,b]上连续。
2、间断点及分类
（1）设f(x)在x?a处间断，且f(a?0),f(a?0)都存在，称x?a为f(x)的第一类间断点。
进一步地，若f(a?0)?f(a?0)，称x?a为f(x)的可去间断点； 若f(a?0)?f(a?0)，称x?a为f(x)的跳跃间断点。
（2）设f(x)在x?a处间断，且f(a?0),f(a?0)至少一个不存在，称x?a为f(x)的第二类间断点。
二、闭区间上连续函数的四大性质
定理1 （最大值最小值定理）设f(x)?C[a,b]，则f(x)在[a,b]上取到最小值和最大值。
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