2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 .
） 一项是符合题目要求的
2
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|﹣ 1＜ x＜ 6} ，集合 B＝ { x|x＜ 4} ，则 A∩（ ?RB）＝（
A ．{ x|﹣ 1＜x＜ 2}
B ．{ x|﹣ 1＜ x≤ 2}
C． { x|2≤ x＜ 6} D． { x|2＜ x＜ 6}
2．（ 5 分）设 i 为虚数单位，则复数 A ．
B ．
的共轭复数 ＝（ C．
） D． 3．（ 5 分）在样本的频率直方图中，共有
8 个小长方形面积的和的 A ．0.2
9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
） ，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（
C． 40
D． 50
B ．0.25
4．（ 5 分）设向量 与向量
线的是（
垂直，且 ＝（ 2， k）， ＝（ 6， 4），则下列下列与向量 + 共
）
B ．（﹣ 16，﹣ 2）
C．（ 1，﹣ 8）
D．（﹣ 16， 2）
A ．（ 1， 8）
5．（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面 积为
，则其体积为（
） A ． B ． C． D． 6．（ 5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的 数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘 积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 则椭圆 C 的方程为（
） y 轴上，且椭圆的离心率为
，面积为 12π，
A ． B． 第 1页（共 25页）
C． D． 7．（ 5 分）设 a， b，c 分别为△ ABC 内角 A， B， C 的对边，若 B＝ C≠ A，且 b＝ 2acosA，
则 A＝（
） B ．
C．
的展开式的各项系数之和为
D． 3，则该展开式中
x 项的系数为
A ． 8．（ 5 分）
3
（
）
B ．80
C．﹣ 50
D． 130
A ．30
9．（ 5 分）函数
的部分图象不可能为（ ） A ． B． C． D． ） 3x
10．（ 5 分）若函数 f（ x）＝ x﹣ ke 在（ 0，+∞）上单调递减，则 k 的取值范围为（
A ．[0， +∞） B ． C． D． R 的球 O 的球面上，若
11．（ 5 分）已知高为 H 的正三棱锥 P﹣ ABC 的每个顶点都在半径为
二面角 P﹣ AB﹣ C 的正切值为 4，则
＝（
） A ． B ． C． D． 12．（ 5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（ f（ x））＝ m 有两个不同
的实数根 x1， x2，则 x1+x2 的取值范围为（ A ．[2， 3） 二、填空题：本大题共
）
C． [2ln2， 4）
B ．（2， 3）
D．（ 2ln2， 4） 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填在答题卡中的横线上 .
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13．（ 5 分）若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 ． 14．（ 5 分）若 tan（ α﹣ 2β）＝ 4， tanβ＝ 2，则 x
＝ ．
x
15．（ 5 分）已知函数 f （ x）＝ 3 +9 （ t≤ x≤ t+1 ），若 f（ x）的最大值为 12，则 f （ x）的最 小值为
16．（ 5 分）已知直线 交于点 P，
x＝ 2a 与双曲线 C： 的一条渐近线
双曲线 C 的左、右焦点分别为
F 1， F2，且 ，则双曲线 C 的离心率
为
．
17-21 题为必考题， .（一）必考题：共
60
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第
每道题考生都必须作答，第
22、 23 题为选做题，考生根据要求作答
分 .
17．（ 12 分）已知 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和，且
（ 1）求数列 { an} 的通项公式；
依次成等比数列．
（ 2）求数列
的前 n 项和 Tn．
18．（ 12 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PD⊥平面 ABCD ，
∠ PAD ＝∠ DAB ＝60°， E 为 AB 中点．（ 1）证明； PE⊥ CD；
（ 2）求二面角 A﹣ PE﹣ C 的余弦值．
19．（ 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：x ＝ 6y 与直线 l ：y＝ kx+3 交于 M，N 两 点．
2
（ 1）设 M， N 到 y 轴的距离分别为 d1， d2，证明： d1 和 d2 的乘积为定值；
（ 2）y 轴上是否存在点 p，当 k 变化时，总有∠ OPM ＝∠ OPN ？若存在，求点 P 的坐标；
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若不存在，请说明理由．
20．（ 12 分） 2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”
．某路
桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上
午 9： 20～ 10： 40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有
600 辆车通
过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，
其中时间段 9：20～
9： 40 记作区 [20 ，40）， 9： 40～ 10： 00 记作 [40 ， 60）， 10： 00～ 10： 20 记作 [60 ， 80），
10： 20～ 10： 40 记作 [80 ， 100），例如 10 点 04 分，记作时刻 64． （ 1）估计这 600 辆车在 9：20～ 10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；
（ 2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这
600 辆车中抽取 10 辆，再从这
X， 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9：20～ 10：00 之间通过的车辆数为
求 X 的分布列与数学期望；
（ 3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻
T 服从正态分布 N（ μ，σ 2），
其中 μ可用这 600 辆车在 9： 20～ 10： 40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，
2
σ 可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
，已知大年初
五全天共有
1000 辆车通过该收费点，估计在 9：46～10： 40 之间通过的车辆数（结果保
留到整数）．
2
若 T～N（ μ，σ ）则 P（ μ﹣σ＜ T≤ μ+σ）＝ 0.6827，P（ μ﹣ 2σ＜ T≤σ +2σ）＝ 0.9545，
P（ μ﹣ 3σ＜ T≤ μ+3σ）＝ 0.9973 ．
21．（ 12 分）已知函数
（ 1）讨论函数
（ 2）若 a≥ 0，不等式
． 在（ 1， +∞）上的单调性；
2
xf（ x） +a≥ 2﹣ e 对 x∈（ 0， +∞）恒成立，求 a 的取值范围．
22、 23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计
]
第 4页（共 25页）
选考题：共 10 分，请考生在第
分 .[ 选项 4-4：坐标系与参数方程
22．（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴为正半轴建立极坐标系， 已知曲线 C 的极坐标方程为
2
ρ﹣ 4ρcosθ﹣ 6ρsinθ+12＝ 0．
（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（ 2）过曲线 C 上一动点 P 分别作极轴、直线
ρcosθ＝﹣ 1 的垂线，垂足分别为 M， N，
求 |PM |+|PN|的最大值．
[ 选项 4-5：不等式选讲 ]
23．设函数 f （x）＝ |x+1|+|2﹣ x|﹣k．
（ 1）当 k＝ 4 时，求不等式 f（x）＜ 0 的解集；
（ 2）若不等式
对 x∈R 恒成立，求 k 的取值范围． 第 5页（共 25页）
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