三角形综合题归类
考点：利用角相等证明垂直
1. 已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
QFDPBCEA
2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作
BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，
试判断△ACF的形状.
拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
C
A
图9
E
B
F D 3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
AFEBDC
4.如图1，?ABC的边BC在直线l上，AC?BC,且AC?BC,?EFP的边FP也 在直线l 上，边EF与边AC重合，且EF?FP
（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系；
（2） 将?EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接 AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将?EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点Q,连结AP,BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. E
A A (E)
E
A
Q F
P B C B C (F) P (3)
l
Q
(1)
B
F
(2) C
P
l
等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用
1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在
一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME,MC．试判断?EMC的形状，并说明理由． MBDEAC压轴题拓展：（三线合一性质的应用）
已知Rt?ABC中，AC?BC，?C?90?，D为AB边的中点，?EDF?90?，?EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
l
1当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时（如图1），易证S?DEF?S?CEF?S?ABC．当?EDF绕
2在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，D点旋转到DE和AC不垂直时，
请给予证明；若不成立，S?DEF，S?CEF，S?ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
AAADDDECECF图1BC图2FBE图3BF
2. 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=(3)CE与BC的大小关系如何。
考点：等腰直角三角形（45度的联想）
1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
2. 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：DG=DC ②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否
1BF 2发生改变．（直接写出结论，不必证明） BHB
G
FG
ADEC
A图
DCE图
A同类变式： 已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
BCE图（2）FM（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时
1猜想AE与EF满足的数量关系是 . ○
2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系 ○是 .
3请证明你的上述猜想； ○
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
附加思考题： 以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，
?BAD??CAE?90?.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的
BNAFC图（1）M位置关系及数量关系．
⑴如图① 当?ABC为直角三角形时，线段AM与DE的AM与DE的位置关系是 ；数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??(0???90)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
DNEADNAEBM图①CBM图②C
24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一点，连接DG,BH?DG于H，且GH?DH，点E,F分别在AB,BC上，且EF//DG。（1）若
AD?3,CG?2，求DG的长；
（2）若GF?AD?BE，求证：EF?1DG。 2
12、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.
N E M B C A D 28．如图甲，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为2的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．
（1）如图乙，当BE=BA时，求证：△ABE≌△ADF；
（2）如图甲，当△AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；
（3）若将已知条件中的“在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点
G．”改为“在AE的下方作等边三角形AEF，连结FD交射线BC于点G．”（如图丙所示），试问当点E在何处时BD∥EF？并求此时△AEF的周长．
A D B
G
图甲
F
F
A D E C
B G
E
C
A D B
G
E C
图乙
F
图丙
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