如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点. （1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.
23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分） 又E、F是边的中点，
∴AE=CF，——————————————————————————（1分）
∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分） ∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）
（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分） ∵△BEF是等边三角形, ∴EB=EF，
又∵E、F是两边中点， ∴AO=
1AC=EF=BE.——————————————————————（1分） 2又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心， ∴OG?11AO?BE?GE, 33∴AG=BG，——————————————————————————（1分）
又∠AGE=∠BGO，
∴△AGE≌△BGO，———— ——————————————————（1分）
∴AE=BO，则AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，
即∠ADC=2∠BAD. ——— ——————————————————（1分）
金山区
23．（本题满分12分，每小题6分）
如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点， 过A点作AE∥BC，CM的延 长线与AE相交于点E，与AB相交于点F． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
F （2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
B
D 图7
C M E A
23．证明：（1）∵AE//BC，∴∠AEM=∠DCM，∠EAM=∠CDM，……………………（1分）
又∵AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD，…………………………（1分） ∵BD=CD，∴AE=BD．……………………………………………………（1分） ∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．……………………………（2分） （2）∵AE//BC，∴
AFAE．…………………………………………………（1分） ?FBBCAFAE1??，∴AB=3AF．……………………………（1分） FBBC2 ∵AE=BD=CD，∴
∵AC=3AF，∴AB=AC，…………………………………………………………（1分） 又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD是矩形．……………………………………………………（1分）
静安区
23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD中， AC、DB交于点E， 点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC． （1）求证：
E A D EFAB?； BFDB2B
（2）如果BD?2AD?DF，求证：平行四边形ABCD是矩形．
第23题图
C F 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC ，AB//DC
∴∠BAD+∠ADC=180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF+∠DEF =180°, ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF……（1分） ∵∠DEF=∠ADC∴∠BAD=∠BEF， …………………………（1分）
B ∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB …………………………（1分） ∴△ADB∽△EBF ∴
第23题图
A D E C F EFAB ………………………（2分） ?BFDB(2) ∵△ADB∽△EBF,∴
ADBE, ………………………（1分） ?BDBF1BD 2在平行四边形ABCD中，BE=ED=
∴AD?BF?BD?BE?21BD2 2∴BD?2AD?BF, ………………………………………（1分） 又∵BD?2AD?DF
2∴BF?DF,△DBF是等腰三角形 …………………………（1分） ∵BE?DE∴FE⊥BD, 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD是矩形 …………………………（1分）
闵行区
23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，
A FG∥AC，联结DG．
D
F B E
G
C
（第23题图）
（1）求证：BF?BC?AB?BD； （2）求证：四边形ADGF是菱形．
23．证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．
∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．…………………………（1分） 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．……………………………（1分） ∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，
∴?ABF∽?CBD．…………………………………………………（1分） ∴
ABBF．………………………………………………………（1分） ?BCBD∴BF?BC?AB?BD．………………………………………………（1分） （2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）
∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，
∴?ABF≌?GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分） ∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，
∴?ABD≌?GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分） ∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，
∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分） 又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分） ∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）
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