2015--2016初三动点问题

动态问题

一、中考导航

动态问题的特征：探究几何图形(点、直线、三角形、四边形、圆)在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的量)的变化或其中存在的函数关系，这类题目叫做动态问题型试题．动态问题一般分两大类，一类是代数型动态问题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何型动态问题，在三角形、矩形、梯形等图形中设立动点、动线以及整体平移翻转等，对考生的综合分析能力进行考查.

点动成线，线动成面，反之，线、面又是由无数个点构成的，可以说点动、线动、面动实质都可以归结为点的运动，因此动态问题也称为“动点问题”.

“动态问题”题型繁多、题意新颖，考察学生的分析问题、解决问题的能力.内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点.

二、方法点拨

1.解决动态问题的关键是“动中求静”. 2.动态问题的解题思路

（1）化动为静，动中求静 （2）建立联系，计算说明 （3）特殊探路，一般推证

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、圆以及函数图象等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理.在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质. 3.动态问题的解题策略：

对于动态问题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．

当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.

动点问题常见类型有两种：一是研究不同的运动状态或探求出现不同运动结果的条件，二是研究运动状态下的变量之间的函数关系，前者的解题策略是以静制动，后者的解题策略是以动制动.

4.动态问题中运用的数学思想

函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想 5.关于“双动点问题” 动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 例如 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=2．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的2速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S． （1）点A的坐标为，直线l的解析式为； （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值； （4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

三、中考真题和试题精粹

1.（2015?山东威海，第 11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）

A．B．C．D．

【答案】A 【解析】

试题分析：根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得

∠F=30°，然后证得△EDC是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定． 试题解析：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； ∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2﹣x，

∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴EF=ED=（2﹣x）． ∴y=ED?EF=（2﹣x）?即y=

（2﹣x），

（x﹣2）2，（x＜2），

故选A．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．

考点：动点问题的函数图象.

2.（2015?四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）

A．B．2C．2D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．

试题解析：由题意，可得BE与AC交于点P． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面积为12， ∴AB=2．

又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=2． 故所求最小值为2． 故选B．

点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．

考点：轴对称－最短路线问题；正方形的性质.

3.（2015?四川资阳，第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ ）

【答案】B 【解析】

试题分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可． 试题解析：（1）当点P沿O→C运动时， 当点P在点O的位置时，y=90°， 当点P在点C的位置时， ∵OA=OC， ∴y=45°，

∴y由90°逐渐减小到45°； （2）当点P沿C→D运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2=45°；

（3）当点P沿D→O运动时， 当点P在点D的位置时，y=45°， 当点P在点0的位置时，y=90°， ∴y由45°逐渐增加到90°． 故选：B． 点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．

（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 考点：动点问题的函数图象． 4.（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）

ABC．D．

【答案】C 【解析】

试题分析：首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0?x?1；②1＜x?2；③2＜x?3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解． 试题解析：由题意可得BQ=x．